Номер 20, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AB и CD, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой CD.

Дано:

Прямоугольная трапеция ABCD

Основание AB = 2 см

Основание CD = 1 см

Меньшая боковая сторона (высота) = 1 см

Ось вращения: прямая CD

Для удобства вычисления производятся в сантиметрах (см).

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

1. Построение модели трапеции в системе координат.

Поместим ось вращения, прямую CD, на ось абсцисс $Ox$. Так как длина основания CD равна 1 см, расположим его вершины в точках D(0,0) и C(1,0). Трапеция является прямоугольной, и ее меньшая боковая сторона, являющаяся высотой, равна 1 см. Пусть этой стороной будет AD. Так как AD перпендикулярна основанию CD (оси $Ox$) и выходит из точки D(0,0), то вершина A будет иметь координаты (0,1). Длина AD при этом равна 1 см.

Второе основание AB параллельно CD, следовательно, оно лежит на прямой $y=1$. Длина AB равна 2 см. Поскольку A=(0,1), то вершина B имеет координаты (2,1). Таким образом, мы получаем трапецию с вершинами D(0,0), C(1,0), B(2,1) и A(0,1). Эта фигура удовлетворяет всем условиям задачи: основания AB=2 и CD=1 параллельны, боковая сторона AD=1 перпендикулярна основаниям (является высотой и меньшей боковой стороной, так как длина стороны BC равна $\sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2} > 1$).

2. Нахождение объема тела вращения.

Тело вращения образуется при вращении трапеции DCBA вокруг оси $Ox$. Объем этого тела можно вычислить с помощью определенного интеграла. Объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной сверху кривой $y_{верх}(x)$ и снизу кривой $y_{нижн}(x)$ на отрезке $[a, b]$, находится по формуле:

$V = \pi \int_a^b (y_{верх}^2(x) - y_{нижн}^2(x)) dx$

В нашем случае верхняя граница фигуры — отрезок AB, заданный уравнением $y_{верх}(x) = 1$ на отрезке $x \in [0, 2]$.

Нижняя граница состоит из двух частей:

• отрезок DC, где $y_{нижн}(x) = 0$ для $x \in [0, 1]$;
• отрезок CB, соединяющий C(1,0) и B(2,1). Его уравнение: $y = x-1$ для $x \in [1, 2]$.

Тогда объем равен:

$V = \pi \int_0^2 (1)^2 dx - \left( \pi \int_0^1 (0)^2 dx + \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx \right)$

$V = \pi \int_0^2 1 dx - \pi \int_1^2 (x-1)^2 dx$

Вычисляем интегралы:

$\pi \int_0^2 1 dx = \pi [x]_0^2 = 2\pi$

$\pi \int_1^2 (x-1)^2 dx = \pi \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_1^2 = \pi \left( \frac{(2-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} \right) = \pi \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{\pi}{3}$

Итоговый объем:

$V = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{6\pi - \pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \text{ см}^3$

3. Нахождение площади поверхности тела вращения.

Площадь поверхности тела складывается из площадей поверхностей, образованных вращением сторон трапеции, которые не лежат на оси вращения. Это стороны AD, AB и BC.

• Поверхность от вращения стороны AD: Отрезок AD (от (0,0) до (0,1)) при вращении вокруг оси $Ox$ образует круг радиусом $r=1$, который является одним из оснований тела. Его площадь: $S_1 = \pi r^2 = \pi (1)^2 = \pi \text{ см}^2$
• Поверхность от вращения стороны AB: Отрезок AB (от (0,1) до (2,1)) при вращении образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $R=1$ и высотой $h=2$. Ее площадь: $S_2 = 2\pi R h = 2\pi (1)(2) = 4\pi \text{ см}^2$
• Поверхность от вращения стороны BC: Отрезок BC (от (1,0) до (2,1)) при вращении образует боковую поверхность конуса с вершиной в точке C(1,0). Радиус основания конуса равен ординате точки B, то есть $R_{осн}=1$. Образующая конуса $l$ равна длине отрезка BC: $l = \sqrt{2}$ см. Площадь этой поверхности: $S_3 = \pi R_{осн} l = \pi (1) \sqrt{2} = \pi\sqrt{2} \text{ см}^2$

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме этих площадей:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = \pi + 4\pi + \pi\sqrt{2} = 5\pi + \pi\sqrt{2} = \pi(5 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$

Ответ: Объем тела вращения равен $V = \frac{5\pi}{3} \text{ см}^3$, а площадь его поверхности $S = \pi(5 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.