Номер 15, страница 191 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В равнобедренном треугольнике ABC $AC = BC = 1$ см, $\angle C = 120^\circ$. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения этого треугольника вокруг прямой AC.

Дано:

Равнобедренный треугольник $ABC$

$AC = BC = 1$ см

$\angle C = 120^{\circ}$

Ось вращения - прямая $AC$.

Найти:

Объем тела вращения $V$

Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении треугольника $ABC$ вокруг прямой, содержащей сторону $AC$, образуется тело вращения. Так как угол $\angle C = 120^{\circ}$ является тупым, то высота $BH$, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, попадет на продолжение стороны $AC$ за точку $C$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$, где $H$ - основание высоты. Угол $\angle BCH$ смежен с углом $\angle BCA$, поэтому $\angle BCH = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Гипотенуза $BC = 1$ см.

Найдем катеты треугольника $BHC$: Высота $BH$ является радиусом $R$ общего основания для конусов, образующих тело вращения: $R = BH = BC \cdot \sin(\angle BCH) = 1 \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Катет $CH$ является высотой $h_1$ меньшего конуса: $h_1 = CH = BC \cdot \cos(\angle BCH) = 1 \cdot \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ см.

Тело вращения можно представить как фигуру, полученную вращением треугольника $ABH$ вокруг катета $AH$, из которой "вырезан" конус, полученный вращением треугольника $CBH$ вокруг катета $CH$. Следовательно, объем тела вращения равен разности объемов этих двух конусов, а площадь поверхности - сумме площадей их боковых поверхностей.

Объем тела вращения

Высота большего конуса, образованного вращением $\triangle ABH$, равна $h_2 = AH = AC + CH = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ см. Объем тела вращения $V$ равен разности объемов большего и меньшего конусов: $V = V_{ABH} - V_{CBH} = \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 - \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_2 - h_1)$.

Так как $h_2 - h_1 = AH - CH = AC = 1$ см, то: $V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей конусов, образованных вращением сторон $BC$ и $AB$ вокруг оси $AC$. $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2$, где $l_1$ и $l_2$ - длины образующих.

Образующая первого конуса (от вращения $BC$) равна $l_1 = BC = 1$ см. Образующую второго конуса (от вращения $AB$) $l_2 = AB$ найдем по теореме косинусов для треугольника $ABC$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(120^{\circ}) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 + 1 = 3$. Следовательно, $l_2 = AB = \sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим общую площадь поверхности: $S = \pi \cdot R \cdot (l_1 + l_2) = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) = \frac{\pi\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})}{2} = \frac{\sqrt{3}\pi + 3\pi}{2} = \frac{(3 + \sqrt{3})\pi}{2}$ см$^2$.

Ответ: $S = \frac{(3 + \sqrt{3})\pi}{2}$ см$^2$.