Номер 8, страница 190 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равностороннего треугольника ABC со сторонами, равными 1 см, вокруг прямой AB.

Дано:

Равносторонний треугольник $ABC$.

Сторона треугольника $a = AB = BC = AC = 1 \text{ см}$.

Ось вращения: прямая $AB$.

Найти:

$V$ — объем тела вращения.

$S$ — площадь поверхности тела вращения.

Решение:

Тело, полученное при вращении равностороннего треугольника $ABC$ вокруг стороны $AB$, представляет собой два одинаковых конуса, соединенных своими основаниями. Вершины конусов находятся в точках $A$ и $B$, а их общее основание — это окружность, которую описывает вершина $C$ при вращении.

Для вычислений найдем основные параметры этих конусов. Сторона треугольника $a = 1 \text{ см}$.

Образующая конуса $l$ равна стороне треугольника: $l = a = 1 \text{ см}$.

Высота каждого конуса $h_{кон}$ равна половине стороны $AB$, так как высота $CH$ в равностороннем треугольнике является и медианой: $h_{кон} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \text{ см}$.

Радиус общего основания конусов $r$ равен высоте $CH$ треугольника. Найдем ее по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ACH$: $r = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - h_{кон}^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Объем тела вращения

Объем тела вращения $V$ равен сумме объемов двух идентичных конусов. Формула объема одного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{кон}$.

Таким образом, полный объем тела равен:

$V = 2 \cdot V_{кон} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h_{кон} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2}$

$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4} \text{ см}^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi}{4} \text{ см}^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (их общее основание находится внутри тела, поэтому его площадь не учитывается). Формула площади боковой поверхности конуса: $S_{бок} = \pi r l$.

Таким образом, полная площадь поверхности тела равна:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\sqrt{3}\pi \text{ см}^2$.