Номер 1, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольного треугольника ABC с катетами $AC = BC = 1 \text{ см}$ вокруг прямой AC.

Дано:

Прямоугольный треугольник $ABC$
Катет $AC = 1$ см
Катет $BC = 1$ см
Ось вращения - прямая $AC$

Перевод в СИ:

$AC = 0.01$ м
$BC = 0.01$ м

Найти:

Объем тела вращения $V$
Площадь поверхности тела вращения $S$

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника $ABC$ вокруг одного из его катетов ($AC$) образуется конус.

Высота этого конуса $h$ равна длине катета $AC$, который является осью вращения. Таким образом, $h = 1$ см.

Радиус основания конуса $r$ равен длине второго катета $BC$. Таким образом, $r = 1$ см.

Образующая конуса $l$ равна гипотенузе треугольника $AB$. Найдем ее по теореме Пифагора: $l = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим известные значения в формулу: $V = \frac{1}{3} \pi \cdot (1)^2 \cdot 1 = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Ответ: $V = \frac{\pi}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $S = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$: $S_{осн} = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$: $S_{бок} = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \pi\sqrt{2}$ см$^2$.

Теперь найдем полную площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi + \pi\sqrt{2} = \pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $S = \pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.