Номер 47, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

47. Площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, равна $6 \text{ см}^2$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около этой призмы.

Дано:

Призма — правильная треугольная.
$S_{вп}$ — площадь боковой поверхности вписанного в призму цилиндра, $S_{вп} = 6 \text{ см}^2$.
$S_{оп}$ — площадь боковой поверхности описанного около призмы цилиндра.

Единицы измерения даны в сантиметрах, и ответ требуется в тех же единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь боковой поверхности описанного цилиндра $S_{оп}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S = 2\pi rh$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Поскольку цилиндры вписаны и описаны около правильной треугольной призмы, их высоты равны высоте призмы. Обозначим эту высоту как $h$.

Основанием вписанного цилиндра является окружность, вписанная в основание призмы — правильный треугольник. Обозначим радиус этой окружности как $r$.

Основанием описанного цилиндра является окружность, описанная около того же правильного треугольника. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Площадь боковой поверхности вписанного цилиндра: $S_{вп} = 2\pi r h = 6 \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности описанного цилиндра: $S_{оп} = 2\pi R h$.

Для любого правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ в два раза больше радиуса вписанной окружности $r$. Это следует из формул для радиусов через сторону треугольника $a$:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Отсюда $\frac{R}{r} = \frac{a/\sqrt{3}}{a/(2\sqrt{3})} = 2$, следовательно, $R = 2r$.

Теперь выразим площадь боковой поверхности описанного цилиндра, используя это соотношение: $S_{оп} = 2\pi R h = 2\pi (2r) h = 2 \cdot (2\pi r h)$.

Мы знаем, что $2\pi r h = S_{вп}$, поэтому: $S_{оп} = 2 \cdot S_{вп}$.

Подставим известное значение площади боковой поверхности вписанного цилиндра: $S_{оп} = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: 12 см².