Номер 45, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

45. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равна 54 $ \text{см}^2 $. Найдите радиус сферы.

Дано:

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, $S = 54 \text{ см}^2$.

$S = 54 \text{ см}^2 = 54 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 54 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0054 \text{ м}^2$.

Найти:

Радиус сферы $R$.

Решение:

Прямоугольный параллелепипед, описанный около сферы, означает, что сфера вписана в этот параллелепипед. Сферу можно вписать в прямоугольный параллелепипед тогда и только тогда, когда он является кубом. Это следует из того, что сфера должна касаться всех шести граней, а значит, расстояние между каждой парой противоположных граней должно быть одинаковым и равным диаметру сферы $D$.

Пусть измерения параллелепипеда (длина, ширина, высота) равны $a, b, c$. Условие вписанной сферы означает, что $a=b=c$. Обозначим длину ребра этого куба через $a$. Диаметр вписанной сферы $D$ равен ребру куба, то есть $D=a$. Радиус сферы $R$ равен половине диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{a}{2}$.

Площадь полной поверхности куба вычисляется как сумма площадей его шести граней. Каждая грань — это квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$. Следовательно, формула для площади полной поверхности куба имеет вид:

$S = 6a^2$

Используя данное из условия значение площади $S = 54 \text{ см}^2$, найдем длину ребра куба $a$:

$54 = 6a^2$

$a^2 = \frac{54}{6} = 9 \text{ см}^2$

Так как длина ребра — положительная величина, получаем $a = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$.

Теперь, зная длину ребра куба, мы можем найти радиус вписанной сферы:

$R = \frac{a}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5 \text{ см}$.

Ответ: $1.5 \text{ см}$.