Номер 40, страница 189 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен $ \sqrt{3} $ см, а высота равна 3 см.

Дано:

Правильная треугольная призма, описанная около цилиндра.

Радиус основания цилиндра, $r = \sqrt{3}$ см.

Высота цилиндра, $h_{цил} = 3$ см.

Все данные представлены в согласованных единицах (сантиметры), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы, $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания призмы, а $h$ — её высота.

Поскольку правильная призма описана около цилиндра, их высоты равны. Следовательно, высота призмы $h = h_{цил} = 3$ см.

Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник. Так как призма описана около цилиндра, то окружность основания цилиндра вписана в равносторонний треугольник, являющийся основанием призмы. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу основания цилиндра, то есть $r = \sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ вписанной в равносторонний треугольник окружности связан с его стороной $a$ формулой: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Выразим сторону треугольника $a$ из этой формулы и подставим известное значение радиуса: $a = r \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Теперь найдем периметр основания призмы (равностороннего треугольника): $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы, подставив найденные значения в формулу: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 54 \text{ см}^2$.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.