Номер 33, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Дано:

Конус, у которого площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) в два раза больше площади основания ($S_{осн}$).

$S_{бок} = 2 \cdot S_{осн}$

Найти:

$\alpha$ - угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Решение:

Обозначим радиус основания конуса как $r$, а длину его образующей как $l$.

Площадь основания конуса, которое является кругом, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

По условию задачи, $S_{бок} = 2 \cdot S_{осн}$. Подставим в это равенство формулы для площадей:

$\pi r l = 2 \cdot (\pi r^2)$

Разделим обе части уравнения на $\pi r$, так как для существования конуса радиус $r$ не может быть равен нулю ($r>0$):

$l = 2r$

Таким образом, мы получили, что длина образующей конуса в два раза больше радиуса его основания.

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, а $r$ и $h$ — катетами. Искомый угол $\alpha$ — это угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$.

Косинус этого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $l = 2r$:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

Ответ: Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.