Номер 26, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

26. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна $12 \text{ см}^2$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Дано:

Исходная треугольная призма.
Площадь боковой поверхности исходной призмы: $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$.
Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру.

Перевод в систему СИ:
$S_{бок} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы $S'_{бок}$.

Решение:

Пусть исходная призма $ABCA_1B_1C_1$ имеет в основании треугольник $ABC$. Её боковая поверхность состоит из трех граней (параллелограммов) $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих граней:$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1} = 12 \text{ см}^2$.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания. Выберем любую среднюю линию, например, $MN$, где $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $AC$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен стороне $BC$ и его длина равна половине длины стороны $BC$: $MN = \frac{1}{2} BC$.

Плоскость сечения параллельна боковому ребру (например, $AA_1$). Так как все боковые ребра призмы параллельны друг другу, эта плоскость параллельна им всем. Данная плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму $AMNA_1M'N'$, где $M'$ и $N'$ — середины сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$ соответственно.

Рассмотрим отсеченную призму $AMNA_1M'N'$.

Её основанием является треугольник $AMN$. Стороны этого треугольника, исходя из определения точек $M$ и $N$ и свойства средней линии, равны половинам соответствующих сторон исходного треугольника $ABC$:$AM = \frac{1}{2} AB$$AN = \frac{1}{2} AC$$MN = \frac{1}{2} BC$

Следовательно, треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Боковыми ребрами отсеченной призмы являются отрезки $AA_1$, $MM'$ и $NN'$. Их длина равна длине бокового ребра исходной призмы.

Боковая поверхность отсеченной призмы $S'_{бок}$ состоит из трех граней-параллелограммов: $AMM'A_1$, $ANN'A_1$ и $MNN'M'$. Площадь каждой из этих граней пропорциональна длине стороны основания, на которой она построена (при одинаковой "высоте" - длине бокового ребра и угле его наклона).

Сравним площади боковых граней отсеченной и исходной призм:

1. Грань $AMM'A_1$ построена на стороне $AM = \frac{1}{2} AB$. Её площадь составляет половину площади грани $ABB_1A_1$: $S_{AMM'A_1} = \frac{1}{2} S_{ABB_1A_1}$.

2. Грань $ANN'A_1$ построена на стороне $AN = \frac{1}{2} AC$. Её площадь составляет половину площади грани $CAA_1C_1$: $S_{ANN'A_1} = \frac{1}{2} S_{CAA_1C_1}$.

3. Грань $MNN'M'$ построена на стороне $MN = \frac{1}{2} BC$. Её площадь составляет половину площади грани $BCC_1B_1$: $S_{MNN'M'} = \frac{1}{2} S_{BCC_1B_1}$.

Таким образом, площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна сумме площадей ее боковых граней:$S'_{бок} = S_{AMM'A_1} + S_{ANN'A_1} + S_{MNN'M'}$$S'_{бок} = \frac{1}{2} S_{ABB_1A_1} + \frac{1}{2} S_{CAA_1C_1} + \frac{1}{2} S_{BCC_1B_1}$$S'_{бок} = \frac{1}{2} (S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1})$$S'_{бок} = \frac{1}{2} S_{бок}$

Подставим известное значение площади боковой поверхности исходной призмы:$S'_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².