Номер 21, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

21. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 3 см и 4 см, и боковым ребром, равным 5 см.

Призма — прямая

Основание призмы — ромб

Диагональ ромба $d_1 = 3$ см

Диагональ ромба $d_2 = 4$ см

Боковое ребро призмы $h = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$d_2 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$h = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Площадь полной поверхности призмы — $S_{полн}$

Площадь полной поверхности призмы вычисляется как сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$). В основании призмы лежит ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$

Подставляем значения длин диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ см}^2$

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$). Для прямой призмы она равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($h$).

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, следовательно, $h = 5$ см.

Для вычисления периметра ромба необходимо найти длину его стороны ($a$). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника, в которых катетами являются половины диагоналей ($\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$), а гипотенузой — сторона ромба ($a$). По теореме Пифагора:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$

$a^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{4}{2})^2 = 1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$

$a = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ см}$

Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон:

$P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 2.5 = 10 \text{ см}$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 10 \cdot 5 = 50 \text{ см}^2$

3. Найдем площадь полной поверхности призмы, подставив вычисленные значения в исходную формулу:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 6 + 50 = 12 + 50 = 62 \text{ см}^2$

Ответ: $62 \text{ см}^2$.