Номер 27, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

27. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $8$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Дано:

В треугольной призме через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру.

$S_{бок. отсеч.} = 8$ – площадь боковой поверхности отсеченной призмы.

Найти:

$S_{бок. исх.}$ – площадь боковой поверхности исходной призмы.

Решение:

Площадь боковой поверхности любой призмы (как прямой, так и наклонной) можно найти по формуле:$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$,где $P_{\perp}$ – периметр сечения, перпендикулярного боковым ребрам, а $l$ – длина бокового ребра.

Пусть исходная призма $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $\triangle ABC$. Проведем плоскость через среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$ (где $M$ – середина стороны $AC$, а $N$ – середина стороны $BC$) параллельно боковому ребру, например, $CC_1$. Эта плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму $MNCM_1N_1C_1$ с основанием $\triangle MNC$.

Боковые ребра отсеченной призмы ($MM_1$, $NN_1$, $CC_1$) равны боковым ребрам исходной призмы, так как секущая плоскость им параллельна. Следовательно, длина бокового ребра $l$ у обеих призм одинакова.

Рассмотрим основания призм. Основанием отсеченной призмы является треугольник $MNC$. По свойству средней линии треугольника:$MN = \frac{1}{2}AB$$MC = \frac{1}{2}AC$$NC = \frac{1}{2}BC$

Треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Любое сечение, перпендикулярное боковым ребрам, для отсеченной призмы будет подобно соответствующему перпендикулярному сечению для исходной призмы с тем же коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия. Поэтому периметр перпендикулярного сечения отсеченной призмы ($P_{\perp отсеч.}$) в два раза меньше периметра перпендикулярного сечения исходной призмы ($P_{\perp исх.}$):$P_{\perp отсеч.} = \frac{1}{2} P_{\perp исх.}$

Теперь сравним площади боковых поверхностей:$S_{бок. отсеч.} = P_{\perp отсеч.} \cdot l = (\frac{1}{2} P_{\perp исх.}) \cdot l = \frac{1}{2} (P_{\perp исх.} \cdot l)$

Так как $S_{бок. исх.} = P_{\perp исх.} \cdot l$, получаем:$S_{бок. отсеч.} = \frac{1}{2} S_{бок. исх.}$

Подставим известное значение площади боковой поверхности отсеченной призмы:$8 = \frac{1}{2} S_{бок. исх.}$

Отсюда находим площадь боковой поверхности исходной призмы:$S_{бок. исх.} = 2 \cdot 8 = 16$

Ответ: 16