Номер 30, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

30. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания, $a = 6$ см
Боковое ребро, $l = 5$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0,06$ м
$l = 0,05$ м

Найти:

Площадь боковой поверхности, $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды состоит из суммы площадей шести одинаковых равнобедренных треугольников, которые являются ее боковыми гранями.

Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренный треугольник с основанием $a = 6$ см и боковыми сторонами, равными боковому ребру пирамиды $l = 5$ см.

Для нахождения площади этого треугольника необходимо найти его высоту, проведенную к основанию. Эта высота в правильной пирамиде называется апофемой и обозначается $h_s$. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является также его медианой и делит основание на два равных отрезка по $\frac{a}{2}$.

Таким образом, боковое ребро $l$, апофема $h_s$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ — гипотенуза.

По теореме Пифагора имеем: $l^2 = h_s^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выразим апофему $h_s$ из этой формулы: $h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2}$

Подставим известные значения в сантиметрах: $h_s = \sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь найдем площадь одной боковой грани ($S_{грани}$) по формуле площади треугольника: $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s$

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

Так как боковая поверхность состоит из шести таких равных треугольников, то общая площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна: $S_{бок} = 6 \cdot S_{грани}$

$S_{бок} = 6 \cdot 12 = 72$ см².

Ответ: $72$ см².