Номер 24, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 см и отстоит от других боковых ребер на 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Дано:

Призма треугольная.

Две боковые грани перпендикулярны.

Длина их общего ребра $L = 10$ см.

Расстояние от общего ребра до двух других боковых ребер $a = 6$ см и $b = 8$ см.

Перевод в систему СИ:
$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot L$

Перпендикулярное сечение нашей призмы — это треугольник, стороны которого представляют собой расстояния между боковыми ребрами. Обозначим этот треугольник как $PQR$.

По условию, две боковые грани призмы перпендикулярны. Это означает, что угол в перпендикулярном сечении, образованный сторонами, которые являются расстояниями от общего ребра до двух других ребер, прямой. То есть, треугольник $PQR$ является прямоугольным.

Катеты этого прямоугольного треугольника равны заданным расстояниям:

$a = 6$ см

$b = 8$ см

Для нахождения периметра этого треугольника необходимо найти длину его гипотенузы $c$. Воспользуемся теоремой Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ см

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$:

$P_{\perp} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см

Длина бокового ребра призмы $L$ дана по условию и равна 10 см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot L = 24 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$

Альтернативно, можно найти площади каждой из трех боковых граней и сложить их. Площадь каждой боковой грани (являющейся параллелограммом) равна произведению стороны основания перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

$S_1 = a \cdot L = 6 \cdot 10 = 60 \text{ см}^2$

$S_2 = b \cdot L = 8 \cdot 10 = 80 \text{ см}^2$

$S_3 = c \cdot L = 10 \cdot 10 = 100 \text{ см}^2$

$S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 60 + 80 + 100 = 240 \text{ см}^2$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $240 \text{ см}^2$.