Номер 22, страница 187 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 см и 8 см. Площадь ее поверхности равна $248 \text{ см}^2$. Найдите боковое ребро этой призмы.

Дано:

Призма прямая.
Основание - ромб.
Диагонали ромба: $d_1 = 6$ см, $d_2 = 8$ см.
Площадь полной поверхности призмы: $S_{полн} = 248$ см².

$d_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$d_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$S_{полн} = 248 \text{ см}^2 = 0.0248 \text{ м}^2$

Найти:

Боковое ребро призмы $h$.

Решение:

1. Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ – площадь основания.

2. В основании призмы лежит ромб. Его площадь можно найти через диагонали:
$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

3. Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности призмы, выразив её из формулы полной площади:
$S_{бок} = S_{полн} - 2 \cdot S_{осн} = 248 \text{ см}^2 - 2 \cdot 24 \text{ см}^2 = 248 - 48 = 200 \text{ см}^2$.

4. Площадь боковой поверхности прямой призмы также равна произведению периметра основания на высоту (которая для прямой призмы равна боковому ребру):
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.
Чтобы найти $h$, нам нужен периметр основания $P_{осн}$.

5. Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей (катеты) и стороной ромба (гипотенуза).
Катеты равны $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
По теореме Пифагора:
$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$a = \sqrt{25} = 5$ см.

6. Периметр ромба равен:
$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5 \text{ см} = 20 \text{ см}$.

7. Наконец, найдем боковое ребро (высоту) призмы $h$:
$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{200 \text{ см}^2}{20 \text{ см}} = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.