Номер 25, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Площадь ее поверхности равна $288 \text{ см}^2$. Найдите высоту призмы.

Дано:

Призма - прямая, треугольная.
Основание - прямоугольный треугольник.
Катет основания $a = 6 \text{ см}$
Катет основания $b = 8 \text{ см}$
Площадь полной поверхности $S_{полн} = 288 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:
$a = 0.06 \text{ м}$
$b = 0.08 \text{ м}$
$S_{полн} = 288 \text{ см}^2 = 288 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 288 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0288 \text{ м}^2$

Найти:

Высоту призмы $h$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания. Основанием является прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ см и $b=8$ см. Его площадь равна половине произведения катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

2. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

3. Найдем периметр основания $P_{осн}$. Для этого сначала нужно найти гипотенузу $c$ основания по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$. Теперь найдем периметр основания, который равен сумме длин всех его сторон: $P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$.

4. Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности через искомую высоту $h$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot h$.

5. Подставим все найденные значения в исходную формулу для площади полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$
$288 = 2 \cdot 24 + 24 \cdot h$

6. Решим полученное линейное уравнение относительно $h$:
$288 = 48 + 24h$
$288 - 48 = 24h$
$240 = 24h$
$h = \frac{240}{24}$
$h = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.