Номер 31, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в три раза?

Дано:

Начальная длина ребра октаэдра: $a_1$

Новая длина ребра октаэдра: $a_2 = 3a_1$

Коэффициент увеличения ребра (коэффициент подобия): $k = 3$

Найти:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра. То есть, найти отношение новой площади поверхности $S_2$ к начальной $S_1$.

Решение:

Эта задача решается с помощью свойств подобных тел. Когда все линейные размеры тела (в данном случае — ребра октаэдра) увеличиваются в $k$ раз, тело становится подобным исходному с коэффициентом подобия $k$.

Отношение площадей поверхностей подобных тел равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть $S_1$ — площадь поверхности исходного октаэдра, а $S_2$ — площадь поверхности нового октаэдра.

Коэффициент подобия $k$ по условию равен 3.

Тогда отношение площадей поверхностей будет:

$\frac{S_2}{S_1} = k^2$

Подставим значение $k=3$:

$\frac{S_2}{S_1} = 3^2 = 9$

Таким образом, площадь поверхности увеличится в 9 раз.

Дополнительное объяснение:

Поверхность октаэдра состоит из 8 одинаковых граней, которые являются равносторонними треугольниками. Площадь одного такого треугольника со стороной $a$ равна $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

Площадь поверхности всего октаэдра: $S = 8 \times A = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$.

Начальная площадь поверхности: $S_1 = 2\sqrt{3} a_1^2$.

Новая длина ребра: $a_2 = 3a_1$.

Новая площадь поверхности: $S_2 = 2\sqrt{3} a_2^2 = 2\sqrt{3} (3a_1)^2 = 2\sqrt{3} \times 9a_1^2 = 9 \times (2\sqrt{3} a_1^2)$.

Как мы видим, $S_2 = 9 \times S_1$, что подтверждает предыдущий вывод.

Ответ: Площадь поверхности октаэдра увеличится в 9 раз.