Номер 29, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

29. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 см и высота равна 4 см.

30. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды рав-

Дано
Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $a = 6$ см
Высота $H = 4$ см

$a = 0.06$ м
$H = 0.04$ м

Найти:
Площадь полной поверхности $S_{полн}$ - ?

Решение

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Найдем его площадь по формуле площади квадрата:

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см².

2. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Чтобы найти их общую площадь, нам нужна высота каждого такого треугольника, которая называется апофемой ($h_s$).

3. Найдем апофему $h_s$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_s$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна половине стороны основания, то есть $\frac{a}{2}$. В этом треугольнике $H$ и $\frac{a}{2}$ являются катетами, а $h_s$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения:

$h_s = \sqrt{4^2 + (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

4. Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности. Она равна сумме площадей четырех треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s) = 2 \cdot a \cdot h_s$

$S_{бок} = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$ см².

5. Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96$ см².

Ответ: 96 см².