Номер 28, страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания, $a = 6$ см.

Боковое ребро, $l = 5$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды, $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Найдем его площадь:

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Основанием каждого такого треугольника является сторона основания пирамиды ($a=6$ см), а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды ($l=5$ см).

Для вычисления площади одного такого треугольника найдем его высоту, которая также является апофемой пирамиды (обозначим ее $h_a$). Высота, опущенная на основание в равнобедренном треугольнике, является и медианой. Она делит основание $a$ на два равных отрезка по $a/2 = 6/2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (катет). По теореме Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + (a/2)^2$

Выразим и найдем апофему $h_a$:

$h_a^2 = l^2 - (a/2)^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$h_a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани (треугольника):

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$.

Площадь всей боковой поверхности — это сумма площадей четырех таких треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}^2$.

3. Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 \text{ см}^2 + 48 \text{ см}^2 = 84 \text{ см}^2$.

Ответ: $84 \text{ см}^2$.