Страница 188 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 см и отстоит от других боковых ребер на 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Дано:

Призма треугольная.

Две боковые грани перпендикулярны.

Длина их общего ребра $L = 10$ см.

Расстояние от общего ребра до двух других боковых ребер $a = 6$ см и $b = 8$ см.

Перевод в систему СИ:
$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot L$

Перпендикулярное сечение нашей призмы — это треугольник, стороны которого представляют собой расстояния между боковыми ребрами. Обозначим этот треугольник как $PQR$.

По условию, две боковые грани призмы перпендикулярны. Это означает, что угол в перпендикулярном сечении, образованный сторонами, которые являются расстояниями от общего ребра до двух других ребер, прямой. То есть, треугольник $PQR$ является прямоугольным.

Катеты этого прямоугольного треугольника равны заданным расстояниям:

$a = 6$ см

$b = 8$ см

Для нахождения периметра этого треугольника необходимо найти длину его гипотенузы $c$. Воспользуемся теоремой Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$c = \sqrt{100} = 10$ см

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$:

$P_{\perp} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см

Длина бокового ребра призмы $L$ дана по условию и равна 10 см.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot L = 24 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 240 \text{ см}^2$

Альтернативно, можно найти площади каждой из трех боковых граней и сложить их. Площадь каждой боковой грани (являющейся параллелограммом) равна произведению стороны основания перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

$S_1 = a \cdot L = 6 \cdot 10 = 60 \text{ см}^2$

$S_2 = b \cdot L = 8 \cdot 10 = 80 \text{ см}^2$

$S_3 = c \cdot L = 10 \cdot 10 = 100 \text{ см}^2$

$S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 60 + 80 + 100 = 240 \text{ см}^2$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $240 \text{ см}^2$.

25. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Площадь ее поверхности равна $288 \text{ см}^2$. Найдите высоту призмы.

Дано:

Призма - прямая, треугольная.
Основание - прямоугольный треугольник.
Катет основания $a = 6 \text{ см}$
Катет основания $b = 8 \text{ см}$
Площадь полной поверхности $S_{полн} = 288 \text{ см}^2$

Перевод в систему СИ:
$a = 0.06 \text{ м}$
$b = 0.08 \text{ м}$
$S_{полн} = 288 \text{ см}^2 = 288 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 288 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0288 \text{ м}^2$

Найти:

Высоту призмы $h$.

Решение:

Площадь полной поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

1. Найдем площадь основания. Основанием является прямоугольный треугольник с катетами $a=6$ см и $b=8$ см. Его площадь равна половине произведения катетов: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

2. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

3. Найдем периметр основания $P_{осн}$. Для этого сначала нужно найти гипотенузу $c$ основания по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$. $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$. Теперь найдем периметр основания, который равен сумме длин всех его сторон: $P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$.

4. Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности через искомую высоту $h$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot h$.

5. Подставим все найденные значения в исходную формулу для площади полной поверхности: $S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$
$288 = 2 \cdot 24 + 24 \cdot h$

6. Решим полученное линейное уравнение относительно $h$:
$288 = 48 + 24h$
$288 - 48 = 24h$
$240 = 24h$
$h = \frac{240}{24}$
$h = 10 \text{ см}$

Ответ: 10 см.

26. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна $12 \text{ см}^2$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы.

Дано:

Исходная треугольная призма.
Площадь боковой поверхности исходной призмы: $S_{бок} = 12 \text{ см}^2$.
Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру.

Перевод в систему СИ:
$S_{бок} = 12 \text{ см}^2 = 12 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 12 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$.

Найти:

Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы $S'_{бок}$.

Решение:

Пусть исходная призма $ABCA_1B_1C_1$ имеет в основании треугольник $ABC$. Её боковая поверхность состоит из трех граней (параллелограммов) $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$ и $CAA_1C_1$. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей этих граней:$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1} = 12 \text{ см}^2$.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания. Выберем любую среднюю линию, например, $MN$, где $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $AC$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен стороне $BC$ и его длина равна половине длины стороны $BC$: $MN = \frac{1}{2} BC$.

Плоскость сечения параллельна боковому ребру (например, $AA_1$). Так как все боковые ребра призмы параллельны друг другу, эта плоскость параллельна им всем. Данная плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму $AMNA_1M'N'$, где $M'$ и $N'$ — середины сторон $A_1B_1$ и $A_1C_1$ соответственно.

Рассмотрим отсеченную призму $AMNA_1M'N'$.

Её основанием является треугольник $AMN$. Стороны этого треугольника, исходя из определения точек $M$ и $N$ и свойства средней линии, равны половинам соответствующих сторон исходного треугольника $ABC$:$AM = \frac{1}{2} AB$$AN = \frac{1}{2} AC$$MN = \frac{1}{2} BC$

Следовательно, треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Боковыми ребрами отсеченной призмы являются отрезки $AA_1$, $MM'$ и $NN'$. Их длина равна длине бокового ребра исходной призмы.

Боковая поверхность отсеченной призмы $S'_{бок}$ состоит из трех граней-параллелограммов: $AMM'A_1$, $ANN'A_1$ и $MNN'M'$. Площадь каждой из этих граней пропорциональна длине стороны основания, на которой она построена (при одинаковой "высоте" - длине бокового ребра и угле его наклона).

Сравним площади боковых граней отсеченной и исходной призм:

1. Грань $AMM'A_1$ построена на стороне $AM = \frac{1}{2} AB$. Её площадь составляет половину площади грани $ABB_1A_1$: $S_{AMM'A_1} = \frac{1}{2} S_{ABB_1A_1}$.

2. Грань $ANN'A_1$ построена на стороне $AN = \frac{1}{2} AC$. Её площадь составляет половину площади грани $CAA_1C_1$: $S_{ANN'A_1} = \frac{1}{2} S_{CAA_1C_1}$.

3. Грань $MNN'M'$ построена на стороне $MN = \frac{1}{2} BC$. Её площадь составляет половину площади грани $BCC_1B_1$: $S_{MNN'M'} = \frac{1}{2} S_{BCC_1B_1}$.

Таким образом, площадь боковой поверхности отсеченной призмы равна сумме площадей ее боковых граней:$S'_{бок} = S_{AMM'A_1} + S_{ANN'A_1} + S_{MNN'M'}$$S'_{бок} = \frac{1}{2} S_{ABB_1A_1} + \frac{1}{2} S_{CAA_1C_1} + \frac{1}{2} S_{BCC_1B_1}$$S'_{бок} = \frac{1}{2} (S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CAA_1C_1})$$S'_{бок} = \frac{1}{2} S_{бок}$

Подставим известное значение площади боковой поверхности исходной призмы:$S'_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^2 = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: 6 см².

27. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна $8$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Дано:

В треугольной призме через среднюю линию основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру.

$S_{бок. отсеч.} = 8$ – площадь боковой поверхности отсеченной призмы.

Найти:

$S_{бок. исх.}$ – площадь боковой поверхности исходной призмы.

Решение:

Площадь боковой поверхности любой призмы (как прямой, так и наклонной) можно найти по формуле:$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$,где $P_{\perp}$ – периметр сечения, перпендикулярного боковым ребрам, а $l$ – длина бокового ребра.

Пусть исходная призма $ABCA_1B_1C_1$ с основанием $\triangle ABC$. Проведем плоскость через среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$ (где $M$ – середина стороны $AC$, а $N$ – середина стороны $BC$) параллельно боковому ребру, например, $CC_1$. Эта плоскость отсекает от исходной призмы меньшую треугольную призму $MNCM_1N_1C_1$ с основанием $\triangle MNC$.

Боковые ребра отсеченной призмы ($MM_1$, $NN_1$, $CC_1$) равны боковым ребрам исходной призмы, так как секущая плоскость им параллельна. Следовательно, длина бокового ребра $l$ у обеих призм одинакова.

Рассмотрим основания призм. Основанием отсеченной призмы является треугольник $MNC$. По свойству средней линии треугольника:$MN = \frac{1}{2}AB$$MC = \frac{1}{2}AC$$NC = \frac{1}{2}BC$

Треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Любое сечение, перпендикулярное боковым ребрам, для отсеченной призмы будет подобно соответствующему перпендикулярному сечению для исходной призмы с тем же коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия. Поэтому периметр перпендикулярного сечения отсеченной призмы ($P_{\perp отсеч.}$) в два раза меньше периметра перпендикулярного сечения исходной призмы ($P_{\perp исх.}$):$P_{\perp отсеч.} = \frac{1}{2} P_{\perp исх.}$

Теперь сравним площади боковых поверхностей:$S_{бок. отсеч.} = P_{\perp отсеч.} \cdot l = (\frac{1}{2} P_{\perp исх.}) \cdot l = \frac{1}{2} (P_{\perp исх.} \cdot l)$

Так как $S_{бок. исх.} = P_{\perp исх.} \cdot l$, получаем:$S_{бок. отсеч.} = \frac{1}{2} S_{бок. исх.}$

Подставим известное значение площади боковой поверхности отсеченной призмы:$8 = \frac{1}{2} S_{бок. исх.}$

Отсюда находим площадь боковой поверхности исходной призмы:$S_{бок. исх.} = 2 \cdot 8 = 16$

Ответ: 16

28. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания, $a = 6$ см.

Боковое ребро, $l = 5$ см.

Перевод в систему СИ:
$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности пирамиды, $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Найдем его площадь:

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2$.

2. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Основанием каждого такого треугольника является сторона основания пирамиды ($a=6$ см), а боковыми сторонами — боковые ребра пирамиды ($l=5$ см).

Для вычисления площади одного такого треугольника найдем его высоту, которая также является апофемой пирамиды (обозначим ее $h_a$). Высота, опущенная на основание в равнобедренном треугольнике, является и медианой. Она делит основание $a$ на два равных отрезка по $a/2 = 6/2 = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (катет). По теореме Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + (a/2)^2$

Выразим и найдем апофему $h_a$:

$h_a^2 = l^2 - (a/2)^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$

$h_a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.

Теперь можем найти площадь одной боковой грани (треугольника):

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 \text{ см}^2$.

Площадь всей боковой поверхности — это сумма площадей четырех таких треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ см}^2$.

3. Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 \text{ см}^2 + 48 \text{ см}^2 = 84 \text{ см}^2$.

Ответ: $84 \text{ см}^2$.

29. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 см и высота равна 4 см.

30. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды рав-

Дано
Правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $a = 6$ см
Высота $H = 4$ см

$a = 0.06$ м
$H = 0.04$ м

Найти:
Площадь полной поверхности $S_{полн}$ - ?

Решение

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

1. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Найдем его площадь по формуле площади квадрата:

$S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36$ см².

2. Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников. Чтобы найти их общую площадь, нам нужна высота каждого такого треугольника, которая называется апофемой ($h_s$).

3. Найдем апофему $h_s$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой $h_s$ и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания. Длина этого отрезка равна половине стороны основания, то есть $\frac{a}{2}$. В этом треугольнике $H$ и $\frac{a}{2}$ являются катетами, а $h_s$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$h_s^2 = H^2 + (\frac{a}{2})^2$

Подставим известные значения:

$h_s = \sqrt{4^2 + (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{16 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

4. Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности. Она равна сумме площадей четырех треугольников:

$S_{бок} = 4 \cdot (\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s) = 2 \cdot a \cdot h_s$

$S_{бок} = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60$ см².

5. Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды, сложив площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 60 = 96$ см².

Ответ: 96 см².

30. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 6 см, боковые ребра равны 5 см. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида
Сторона основания, $a = 6$ см
Боковое ребро, $l = 5$ см

Перевод в систему СИ:
$a = 0,06$ м
$l = 0,05$ м

Найти:

Площадь боковой поверхности, $S_{бок}$

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды состоит из суммы площадей шести одинаковых равнобедренных треугольников, которые являются ее боковыми гранями.

Рассмотрим одну боковую грань. Это равнобедренный треугольник с основанием $a = 6$ см и боковыми сторонами, равными боковому ребру пирамиды $l = 5$ см.

Для нахождения площади этого треугольника необходимо найти его высоту, проведенную к основанию. Эта высота в правильной пирамиде называется апофемой и обозначается $h_s$. Высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является также его медианой и делит основание на два равных отрезка по $\frac{a}{2}$.

Таким образом, боковое ребро $l$, апофема $h_s$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ — гипотенуза.

По теореме Пифагора имеем: $l^2 = h_s^2 + (\frac{a}{2})^2$

Выразим апофему $h_s$ из этой формулы: $h_s = \sqrt{l^2 - (\frac{a}{2})^2}$

Подставим известные значения в сантиметрах: $h_s = \sqrt{5^2 - (\frac{6}{2})^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь найдем площадь одной боковой грани ($S_{грани}$) по формуле площади треугольника: $S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s$

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см².

Так как боковая поверхность состоит из шести таких равных треугольников, то общая площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) равна: $S_{бок} = 6 \cdot S_{грани}$

$S_{бок} = 6 \cdot 12 = 72$ см².

Ответ: $72$ см².

31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в три раза?

Дано:

Начальная длина ребра октаэдра: $a_1$

Новая длина ребра октаэдра: $a_2 = 3a_1$

Коэффициент увеличения ребра (коэффициент подобия): $k = 3$

Найти:

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра. То есть, найти отношение новой площади поверхности $S_2$ к начальной $S_1$.

Решение:

Эта задача решается с помощью свойств подобных тел. Когда все линейные размеры тела (в данном случае — ребра октаэдра) увеличиваются в $k$ раз, тело становится подобным исходному с коэффициентом подобия $k$.

Отношение площадей поверхностей подобных тел равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть $S_1$ — площадь поверхности исходного октаэдра, а $S_2$ — площадь поверхности нового октаэдра.

Коэффициент подобия $k$ по условию равен 3.

Тогда отношение площадей поверхностей будет:

$\frac{S_2}{S_1} = k^2$

Подставим значение $k=3$:

$\frac{S_2}{S_1} = 3^2 = 9$

Таким образом, площадь поверхности увеличится в 9 раз.

Дополнительное объяснение:

Поверхность октаэдра состоит из 8 одинаковых граней, которые являются равносторонними треугольниками. Площадь одного такого треугольника со стороной $a$ равна $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.

Площадь поверхности всего октаэдра: $S = 8 \times A = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 2\sqrt{3} a^2$.

Начальная площадь поверхности: $S_1 = 2\sqrt{3} a_1^2$.

Новая длина ребра: $a_2 = 3a_1$.

Новая площадь поверхности: $S_2 = 2\sqrt{3} a_2^2 = 2\sqrt{3} (3a_1)^2 = 2\sqrt{3} \times 9a_1^2 = 9 \times (2\sqrt{3} a_1^2)$.

Как мы видим, $S_2 = 9 \times S_1$, что подтверждает предыдущий вывод.

Ответ: Площадь поверхности октаэдра увеличится в 9 раз.

Все его ребра увеличились в три раза!

32. Высота конуса равна 6 см, образующая равна 10 см. Найдите площадь его поверхности, деленную на $\Pi$.

Дано:

Высота конуса, $h = 6$ см

Образующая конуса, $l = 10$ см

Найти:

Площадь его поверхности, деленную на $\pi$, то есть $S_{полн} / \pi$.

Решение:

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

Формула площади полной поверхности конуса:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$, где $r$ - радиус основания конуса, а $l$ - его образующая.

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус основания $r$. Высота конуса $h$, его радиус $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Выразим из этой формулы квадрат радиуса $r^2$:

$r^2 = l^2 - h^2$

Подставим известные значения $h = 6$ см и $l = 10$ см:

$r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$r = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь, зная радиус $r = 8$ см и образующую $l = 10$ см, можем вычислить площадь полной поверхности конуса:

$S_{полн} = \pi r (r + l) = \pi \cdot 8 \cdot (8 + 10) = \pi \cdot 8 \cdot 18 = 144\pi$ см$^2$.

По условию задачи требуется найти значение площади поверхности, деленное на $\pi$:

$\frac{S_{полн}}{\pi} = \frac{144\pi}{\pi} = 144$.

Ответ: 144.

33. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Дано:

Конус, у которого площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) в два раза больше площади основания ($S_{осн}$).

$S_{бок} = 2 \cdot S_{осн}$

Найти:

$\alpha$ - угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Решение:

Обозначим радиус основания конуса как $r$, а длину его образующей как $l$.

Площадь основания конуса, которое является кругом, вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

По условию задачи, $S_{бок} = 2 \cdot S_{осн}$. Подставим в это равенство формулы для площадей:

$\pi r l = 2 \cdot (\pi r^2)$

Разделим обе части уравнения на $\pi r$, так как для существования конуса радиус $r$ не может быть равен нулю ($r>0$):

$l = 2r$

Таким образом, мы получили, что длина образующей конуса в два раза больше радиуса его основания.

Угол между образующей и плоскостью основания — это угол в прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$. В этом треугольнике $l$ является гипотенузой, а $r$ и $h$ — катетами. Искомый угол $\alpha$ — это угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$.

Косинус этого угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{l}$

Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $l = 2r$:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$

Из этого уравнения находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

Ответ: Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен $60^\circ$.

34. Площадь поверхности конуса равна 12 $cm^2$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь поверхности отсеченного конуса.

Дано:

Площадь полной поверхности исходного конуса $S = 12 \text{ см}^2$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, делит высоту конуса $H$ пополам. Следовательно, высота отсеченного (малого) конуса $H'$ составляет половину высоты исходного конуса: $H' = \frac{1}{2}H$.

Найти:

Площадь полной поверхности отсеченного конуса $S'$.

Решение:

Отсеченный конус, который образовался в результате сечения исходного конуса плоскостью, параллельной основанию, является телом, подобным исходному конусу.

Коэффициент подобия $k$ для этих двух конусов равен отношению их соответствующих линейных размеров, например, высот:

$k = \frac{H'}{H}$

Так как по условию сечение делит высоту пополам, то $H' = \frac{H}{2}$. Подставим это в формулу для коэффициента подобия:

$k = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$

Соотношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. В нашем случае, отношение площади поверхности отсеченного конуса $S'$ к площади поверхности исходного конуса $S$ равно $k^2$:

$\frac{S'}{S} = k^2$

Теперь мы можем выразить и найти площадь поверхности отсеченного конуса $S'$:

$S' = S \cdot k^2$

Подставим известные значения $S = 12 \text{ см}^2$ и $k = \frac{1}{2}$:

$S' = 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \text{ см}^2$

Ответ: площадь поверхности отсеченного конуса равна $3 \text{ см}^2$.

35. Объем шара равен $36\pi$. Найдите площадь его поверхности, деленную на $\Pi$.

36. Объем одного шара в 27 раз больше его объема второго. Во сколько раз

Дано:

Объем шара $V = 36\pi$.

Найти:

Площадь поверхности шара, деленную на $\pi$, то есть $\frac{S}{\pi}$.

Решение:

1. Формула для объема шара с радиусом $R$ имеет вид:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

2. Используя данное значение объема, мы можем найти радиус шара. Приравняем формулу к заданному объему:

$36\pi = \frac{4}{3}\pi R^3$

Чтобы найти $R^3$, разделим обе части уравнения на $\frac{4}{3}\pi$:

$R^3 = \frac{36\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 36 \cdot \frac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27$

Теперь найдем радиус, извлекая кубический корень:

$R = \sqrt[3]{27} = 3$

3. Формула для площади поверхности шара $S$ с радиусом $R$:

$S = 4\pi R^2$

4. Подставим найденное значение радиуса $R=3$ в эту формулу:

$S = 4\pi (3)^2 = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$

5. В задаче требуется найти значение площади поверхности, деленное на $\pi$:

$\frac{S}{\pi} = \frac{36\pi}{\pi} = 36$

Ответ: 36.

36. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Дано:

Пусть $V_1$ и $S_1$ — объем и площадь поверхности первого шара, а $V_2$ и $S_2$ — объем и площадь поверхности второго шара. По условию задачи, объем одного шара в 27 раз больше объема второго, что можно записать как: $ \frac{V_1}{V_2} = 27 $

Найти:

Отношение площадей поверхностей шаров: $ \frac{S_1}{S_2} $.

Решение:

Формула для вычисления объема шара с радиусом $R$ выглядит так: $ V = \frac{4}{3}\pi R^3 $

Формула для вычисления площади поверхности шара с радиусом $R$: $ S = 4\pi R^2 $

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы первого и второго шаров соответственно. Запишем отношение их объемов, используя формулу:

$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3 $

Из условия задачи мы знаем, что это отношение равно 27:

$ (\frac{R_1}{R_2})^3 = 27 $

Чтобы найти отношение радиусов, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$ \frac{R_1}{R_2} = \sqrt[3]{27} = 3 $

Таким образом, радиус первого шара в 3 раза больше радиуса второго шара.

Теперь найдем отношение площадей поверхностей этих шаров:

$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 $

Подставим найденное отношение радиусов ($ \frac{R_1}{R_2} = 3 $) в это выражение:

$ \frac{S_1}{S_2} = (3)^2 = 9 $

Следовательно, площадь поверхности первого шара в 9 раз больше площади поверхности второго шара.

Ответ: в 9 раз.

37. Радиусы двух шаров равны 6 см, 8 см. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

Дано:

Радиус первого шара, $r_1 = 6$ см.

Радиус второго шара, $r_2 = 8$ см.

$r_1 = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$r_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус нового шара, $R$.

Решение:

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi r^2$, где $r$ — радиус шара.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади поверхностей двух исходных шаров, а $S$ — площадь поверхности нового шара.

Площадь поверхности первого шара: $S_1 = 4\pi r_1^2$.

Площадь поверхности второго шара: $S_2 = 4\pi r_2^2$.

Площадь поверхности нового шара с радиусом $R$: $S = 4\pi R^2$.

По условию задачи, площадь поверхности нового шара равна сумме площадей поверхностей двух исходных шаров:

$S = S_1 + S_2$

Подставим формулы для площадей в это равенство:

$4\pi R^2 = 4\pi r_1^2 + 4\pi r_2^2$

Чтобы найти $R$, можно упростить уравнение, разделив обе его части на $4\pi$:

$R^2 = r_1^2 + r_2^2$

Теперь подставим числовые значения радиусов $r_1$ и $r_2$:

$R^2 = 6^2 + 8^2$

$R^2 = 36 + 64$

$R^2 = 100$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из 100:

$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей, составляет 10 см.

38. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Дано:

Призма - правильная четырехугольная, описана около цилиндра.
Радиус основания цилиндра $r = 2$ см.
Высота цилиндра $h_ц = 2$ см.

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h_ц = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$.

Решение:

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ – периметр основания призмы, а $H$ – ее высота.

Так как призма является правильной четырехугольной, в ее основании лежит квадрат. Поскольку призма описана около цилиндра, ее высота $H$ равна высоте цилиндра $h_ц$: $H = h_ц = 2$ см.

Основание призмы (квадрат) описано около основания цилиндра (круга). Это означает, что круг вписан в квадрат. Сторона квадрата $a$, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности $d$. Диаметр основания цилиндра равен двум радиусам: $d = 2r$. Следовательно, сторона основания призмы $a$ равна: $a = d = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Периметр основания призмы (квадрата) равен: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Теперь можно вычислить площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 16 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 32 \text{ см}^2$.

Ответ: $32 \text{ см}^2$.