Страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 см, 6 см, 9 см. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Дано:

Ребра прямоугольного параллелепипеда:
$a = 4$ см
$b = 6$ см
$c = 9$ см
Параллелепипед и куб равновелики ($V_п = V_к$).

Перевод в систему СИ:
$a = 0.04$ м
$b = 0.06$ м
$c = 0.09$ м

Найти:

Ребро куба — $x$.

Решение:

Понятие "равновеликий" означает, что объемы тел равны. Следовательно, объем прямоугольного параллелепипеда равен объему куба.

1. Сначала вычислим объем прямоугольного параллелепипеда ($V_п$). Он равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты).

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

$V_п = a \cdot b \cdot c$

Подставим в формулу данные значения ребер:

$V_п = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 24 \text{ см}^2 \cdot 9 \text{ см} = 216 \text{ см}^3$

2. Объем куба ($V_к$) с ребром $x$ вычисляется по формуле:

$V_к = x^3$

3. Так как по условию задачи тела равновелики, их объемы равны:

$V_к = V_п$

$x^3 = 216 \text{ см}^3$

4. Для того чтобы найти длину ребра куба $x$, нужно извлечь кубический корень из его объема:

$x = \sqrt[3]{216 \text{ см}^3}$

$x = 6 \text{ см}$

Ответ: 6 см.

6. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Дано:

$a_1$ — начальная длина ребра куба.
$a_2$ — конечная длина ребра куба.
Коэффициент увеличения ребра $k=3$.
$a_2 = k \cdot a_1 = 3a_1$.

Найти:

Отношение конечного объема ($V_2$) к начальному объему ($V_1$), то есть $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Объем куба вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.

Начальный объем куба ($V_1$) с длиной ребра $a_1$ равен: $V_1 = a_1^3$

Конечный объем куба ($V_2$) с длиной ребра $a_2$ равен: $V_2 = a_2^3$

По условию задачи, ребра увеличили в три раза, значит $a_2 = 3a_1$. Подставим это выражение в формулу для конечного объема: $V_2 = (3a_1)^3 = 3^3 \cdot a_1^3 = 27a_1^3$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение конечного объема к начальному: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a_1^3}{a_1^3}$

Сократив $a_1^3$ в числителе и знаменателе, получаем: $\frac{V_2}{V_1} = 27$

Ответ: объем куба увеличится в 27 раз.

7. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, боковое ребро равно 5 см. Найдите объем призмы.

Дано:

Призма — прямая треугольная

Основание — прямоугольный треугольник

Катет основания $a = 6$ см

Катет основания $b = 8$ см

Боковое ребро (высота) $h = 5$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$h = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Объем призмы $V$.

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В основании данной призмы лежит прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставим известные значения катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.

Поскольку призма прямая, ее высота $h$ равна длине бокового ребра, то есть:

$h = 5 \text{ см}$.

Теперь мы можем вычислить объем призмы, умножив площадь основания на высоту:

$V = S_{осн} \cdot h = 24 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 120 \text{ см}^3$.

Ответ: $120 \text{ см}^3$.

8. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 5 см. Объем призмы равен 30 см³. Найдите ее боковое ребро.

Дано:

Катет основания прямой треугольной призмы, $a = 3$ см.

Катет основания прямой треугольной призмы, $b = 5$ см.

Объем призмы, $V = 30$ см³.

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$b = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$V = 30 \text{ см}^3 = 30 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 30 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

Боковое ребро, $L$ — ?

Решение:

Объем прямой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

Поскольку призма прямая, ее высота $h$ совпадает с длиной бокового ребра $L$. Таким образом, $h = L$.

Формула для объема примет вид:

$V = S_{осн} \cdot L$

Основанием призмы является прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b$

Вычислим площадь основания, подставив значения длин катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = \frac{15}{2} \text{ см}^2 = 7.5 \text{ см}^2$

Теперь из формулы объема выразим боковое ребро $L$:

$L = \frac{V}{S_{осн}}$

Подставим известные значения объема призмы и площади ее основания для нахождения бокового ребра:

$L = \frac{30 \text{ см}^3}{7.5 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

9. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны $ \sqrt{3} $ см.

Дано:

Призма - правильная шестиугольная
Сторона основания, $a = 1$ см
Боковое ребро, $h = \sqrt{3}$ см

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Объем призмы, $V$.

Решение:

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{\text{осн}} \times h$

где $S_{\text{осн}}$ – площадь основания, а $h$ – высота призмы.

Поскольку призма правильная, ее основанием является правильный многоугольник (в данном случае — правильный шестиугольник), а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что высота призмы $h$ равна ее боковому ребру.

$h = \sqrt{3}$ см.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Данная формула получается из того, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$, а площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим в формулу площади основания значение стороны $a = 1$ см:

$S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (1 \text{ см})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

Теперь мы можем вычислить объем призмы, используя найденную площадь основания и заданную высоту:

$V = S_{\text{осн}} \times h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2 \times \sqrt{3} \text{ см}$

При умножении $\sqrt{3}$ на $\sqrt{3}$ получаем 3:

$V = \frac{3 \times 3}{2} \text{ см}^3 = \frac{9}{2} \text{ см}^3 = 4.5 \text{ см}^3$

Ответ: $4.5 \text{ см}^3$.

10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Дано:

$a_1$ — начальная длина ребра правильного тетраэдра.

$V_1$ — начальный объем правильного тетраэдра.

$a_2$ — новая длина ребра правильного тетраэдра.

$V_2$ — новый объем правильного тетраэдра.

$a_2 = 2 \cdot a_1$

Найти:

Во сколько раз увеличится объем, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование формулы объема правильного тетраэдра.

Объем $V$ правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Пусть начальная длина ребра была $a_1$. Тогда начальный объем тетраэдра равен:

$V_1 = \frac{a_1^3\sqrt{2}}{12}$

После увеличения всех ребер в 2 раза, новая длина ребра стала $a_2 = 2a_1$. Новый объем $V_2$ будет равен:

$V_2 = \frac{a_2^3\sqrt{2}}{12} = \frac{(2a_1)^3\sqrt{2}}{12} = \frac{8a_1^3\sqrt{2}}{12}$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{8a_1^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{a_1^3\sqrt{2}}{12}} = \frac{8a_1^3\sqrt{2}}{12} \cdot \frac{12}{a_1^3\sqrt{2}} = 8$

Способ 2: Использование свойств подобных тел.

Если два тела подобны, то отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия.

При увеличении всех ребер (линейных размеров) тетраэдра в 2 раза мы получаем новый тетраэдр, подобный исходному. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен 2.

Отношение объемов нового и старого тетраэдров будет равно:

$\frac{V_2}{V_1} = k^3$

Подставляем значение коэффициента подобия $k=2$:

$\frac{V_2}{V_1} = 2^3 = 8$

Оба способа показывают, что объем увеличится в 8 раз.

Ответ: объем правильного тетраэдра увеличится в 8 раз.

11. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6 см, а основание— прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см.

Дано:

Высота пирамиды $h = 6$ см
Основание – прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = 4$ см

$h = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$
$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$,

где $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

В основании данной пирамиды лежит прямоугольник. Площадь прямоугольника находится как произведение его сторон:

$S_{осн} = a \cdot b$.

Сначала найдем площадь основания, подставив известные значения сторон:

$S_{осн} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Теперь, зная площадь основания и высоту пирамиды, можем вычислить ее объем:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 4 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^3$.

Ответ: $24 \text{ см}^3$.

12. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Ее объем равен $16 \text{ см}^3$. Найдите высоту этой пирамиды.

Дано:

Основание пирамиды - прямоугольник

Сторона прямоугольника, $a = 3 \text{ см}$

Сторона прямоугольника, $b = 4 \text{ см}$

Объем пирамиды, $V = 16 \text{ см}^3$

$a = 0.03 \text{ м}$
$b = 0.04 \text{ м}$
$V = 16 \cdot (10^{-2})^3 \text{ м}^3 = 16 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.000016 \text{ м}^3$

Найти:

Высоту пирамиды, $H$

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $V$ - объем, $S_{осн}$ - площадь основания, $H$ - высота пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольник. Площадь прямоугольника ($S_{осн}$) вычисляется как произведение его сторон:

$S_{осн} = a \cdot b$

Подставим значения сторон в формулу площади основания:

$S_{осн} = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

Теперь у нас есть объем пирамиды ($V = 16 \text{ см}^3$) и площадь ее основания ($S_{осн} = 12 \text{ см}^2$).

Выразим высоту $H$ из формулы объема:

$H = \frac{3V}{S_{осн}}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$H = \frac{3 \cdot 16 \text{ см}^3}{12 \text{ см}^2}$

$H = \frac{48 \text{ см}^3}{12 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна $\sqrt{3}$ см.

Дано:

Пирамида — правильная треугольная.

Сторона основания $a = 1$ см.

Высота пирамиды $h = \sqrt{3}$ см.

Перевод данных в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$h = \sqrt{3} \text{ см} = \sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

Объем пирамиды $V$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Для удобства вычислений будем использовать значения в сантиметрах. Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$S_{осн} = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$

Теперь, зная площадь основания и высоту, можем найти объем пирамиды. Подставим значения $S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$ и $h = \sqrt{3}$ см в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3}$

Выполним вычисления:

$V = \frac{1 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ см}^3$

Ответ: $0.25 \text{ см}^3$.

14. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2 см, а объем равен $\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Дано:

Пирамида — правильная треугольная
Сторона основания $a = 2 \text{ см}$
Объем $V = \sqrt{3} \text{ см}^3$

Перевод в систему СИ:
$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$V = \sqrt{3} \text{ см}^3 = \sqrt{3} \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Высоту пирамиды $H$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Из данной формулы можно выразить высоту пирамиды $H$:
$H = \frac{3V}{S_{осн}}$

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный, то есть равносторонний, треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу известное значение стороны основания $a = 2 \text{ см}$ и вычислим площадь основания: $S_{осн} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ см}^2$

Теперь, когда известны объем пирамиды и площадь ее основания, можно найти высоту. Для удобства будем использовать исходные единицы измерения (сантиметры). $H = \frac{3 \cdot V}{S_{осн}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3} \text{ см}^3}{\sqrt{3} \text{ см}^2} = 3 \text{ см}$

Ответ: высота правильной треугольной пирамиды равна 3 см.

15. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Дано:

$h_1$ - начальная высота пирамиды

$h_2 = 4 \cdot h_1$ - конечная высота пирамиды

$S_{осн}$ - площадь основания (не изменяется)

Найти:

Во сколько раз увеличится объем, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} h$

где $V$ - объем, $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота.

Начальный объем пирамиды $V_1$ с высотой $h_1$ и площадью основания $S_{осн}$ равен:

$V_1 = \frac{1}{3} S_{осн} h_1$

Согласно условию, высоту увеличили в четыре раза, то есть новая высота $h_2 = 4h_1$. Площадь основания $S_{осн}$ осталась прежней. Тогда новый объем $V_2$ будет равен:

$V_2 = \frac{1}{3} S_{осн} h_2 = \frac{1}{3} S_{осн} (4h_1)$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3} S_{осн} (4h_1)}{\frac{1}{3} S_{осн} h_1}$

Сократив общие множители в числителе и знаменателе ($\frac{1}{3}$, $S_{осн}$ и $h_1$), получим:

$\frac{V_2}{V_1} = 4$

Это означает, что объем пирамиды прямо пропорционален ее высоте (при постоянной площади основания). Следовательно, при увеличении высоты в 4 раза, объем также увеличивается в 4 раза.

Ответ: в 4 раза.

16. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Дано:

$V_{воды} = 6$ л

$k = 1,5$ (коэффициент, показывающий во сколько раз поднялся уровень жидкости)

Перевод в систему СИ:
$V_{воды} = 6 \text{ л} = 6 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$V_{детали}$ — ?

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде определяется формулой $V = S \cdot h$, где $S$ — площадь основания сосуда, а $h$ — высота уровня жидкости.

Изначальный объем воды в сосуде равен:

$V_{воды} = S \cdot h_1 = 6$ л

где $h_1$ — начальный уровень воды.

После того как деталь опустили в воду, уровень жидкости поднялся в 1,5 раза. Новый уровень $h_2$ стал равен:

$h_2 = 1,5 \cdot h_1$

Общий объем, занимаемый водой вместе с погруженной в нее деталью, соответствует новому уровню жидкости $h_2$:

$V_{общий} = S \cdot h_2 = S \cdot (1,5 \cdot h_1) = 1,5 \cdot (S \cdot h_1)$

Так как $S \cdot h_1$ — это первоначальный объем воды $V_{воды}$, мы можем записать:

$V_{общий} = 1,5 \cdot V_{воды}$

Объем детали, согласно закону Архимеда, равен объему вытесненной жидкости. Этот объем можно найти как разность между общим объемом после погружения детали и начальным объемом воды:

$V_{детали} = V_{общий} - V_{воды}$

Подставим в это уравнение выражение для $V_{общий}$:

$V_{детали} = 1,5 \cdot V_{воды} - V_{воды} = (1,5 - 1) \cdot V_{воды} = 0,5 \cdot V_{воды}$

Теперь вычислим искомый объем, подставив значение объема воды:

$V_{детали} = 0,5 \cdot 6 \text{ л} = 3 \text{ л}$

Ответ: объем детали равен 3 литрам.

17. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в три раза больше первого?

Дано:

Высота жидкости в первом цилиндрическом сосуде, $h_1 = 18$ см.
Диаметр второго сосуда в три раза больше диаметра первого: $d_2 = 3d_1$.

Перевод в систему СИ:
$h_1 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$.

Найти:

Высоту жидкости во втором сосуде, $h_2$.

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде определяется по формуле $V = S \cdot h$, где $S$ — это площадь основания цилиндра, а $h$ — высота уровня жидкости.

Основание цилиндра представляет собой круг, площадь которого вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус. Поскольку радиус связан с диаметром соотношением $R = d/2$, формулу для площади можно записать через диаметр:
$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Таким образом, объем жидкости в первом сосуде равен:
$V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$

Объем жидкости во втором сосуде будет равен:
$V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Поскольку всю жидкость переливают из первого сосуда во второй, ее объем остается неизменным, следовательно, $V_1 = V_2$. Приравняем объемы:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Мы можем сократить общий множитель $\frac{\pi}{4}$ в обеих частях уравнения:
$d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$

Из условия задачи известно, что $d_2 = 3d_1$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$d_1^2 \cdot h_1 = (3d_1)^2 \cdot h_2$
$d_1^2 \cdot h_1 = 9d_1^2 \cdot h_2$

Теперь разделим обе части уравнения на $d_1^2$ (диаметр основания не может быть равен нулю):
$h_1 = 9h_2$

Из этого соотношения выразим искомую высоту $h_2$:
$h_2 = \frac{h_1}{9}$

Подставим числовое значение высоты $h_1$:
$h_2 = \frac{18 \text{ см}}{9} = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.

18. Найдите объем конуса, площадь основания которого равна $2 \text{ см}^2$, а образующая равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Дано:

Площадь основания конуса $S_{осн} = 2 \text{ см}^2$

Образующая конуса $l = 6 \text{ см}$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

$S_{осн} = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$l = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса $V$.

Решение:

Объем конуса определяется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания конуса, а $H$ — его высота.

Площадь основания дана в условии задачи. Для нахождения объема необходимо определить высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$, его образующая $l$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ — катетами.

Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между образующей $l$ и радиусом $R$ в этом прямоугольном треугольнике. По условию, $\alpha = 30^\circ$.

Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Мы можем найти ее, используя тригонометрическую функцию синус:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{l}$

Из этой формулы выражаем высоту $H$:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем известные значения:

$H = 6 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

Так как значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$H = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}$

Теперь, зная высоту и площадь основания, мы можем вычислить объем конуса:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 2 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 2 \text{ см}^3$

Ответ: объем конуса равен $2 \text{ см}^3$.

19. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в три раза?

Дано:

$V_1$ - начальный объем конуса,
$R$ - радиус основания конуса,
$h_1$ - начальная высота конуса,
$V_2$ - конечный объем конуса,
$h_2$ - конечная высота конуса,
$h_2 = \frac{h_1}{3}$.

Найти:

Отношение $\frac{V_1}{V_2}$.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$,
где $R$ – радиус основания, а $h$ – высота.

Начальный объем конуса $V_1$ с высотой $h_1$ и радиусом основания $R$ равен:
$V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 h_1$

Согласно условию задачи, высоту конуса уменьшили в три раза, а радиус основания остался без изменений. Новая высота $h_2 = \frac{h_1}{3}$.
Тогда новый объем конуса $V_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 \left(\frac{h_1}{3}\right)$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшился объем, найдем отношение начального объема $V_1$ к новому объему $V_2$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi R^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi R^2 \frac{h_1}{3}}$

Сократим общие множители $\frac{1}{3} \pi R^2 h_1$ в числителе и знаменателе:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 1 \cdot \frac{3}{1} = 3$

Следовательно, объем конуса уменьшится в 3 раза.

Ответ: объем конуса уменьшится в 3 раза.

20. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Дано:

Пусть $R_1$ - начальный радиус основания конуса.
Пусть $V_1$ - начальный объем конуса.
Коэффициент увеличения радиуса $k = 1,5$.
Новый радиус основания конуса $R_2 = k \cdot R_1 = 1,5 \cdot R_1$.
Высота конуса $h$ остается неизменной.

Найти:

Отношение нового объема конуса $V_2$ к начальному объему $V_1$, то есть $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Формула для вычисления объема конуса имеет вид: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ - радиус основания, а $h$ - высота конуса.

Начальный объем конуса $V_1$ с радиусом $R_1$ и высотой $h$ равен: $V_1 = \frac{1}{3} \pi R_1^2 h$.

По условию задачи, радиус основания увеличили в 1,5 раза. Новый радиус $R_2$ равен: $R_2 = 1,5 \cdot R_1$.

Новый объем конуса $V_2$ с радиусом $R_2$ и той же высотой $h$ будет равен: $V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 h = \frac{1}{3} \pi (1,5 \cdot R_1)^2 h$.

Раскроем скобки в выражении для $V_2$: $V_2 = \frac{1}{3} \pi (1,5^2 \cdot R_1^2) h = \frac{1}{3} \pi (2,25 \cdot R_1^2) h$.

Теперь найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному объему $V_1$, чтобы определить, во сколько раз он увеличился: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3} \pi (2,25 \cdot R_1^2) h}{\frac{1}{3} \pi R_1^2 h}$.

Сократим одинаковые множители ($\frac{1}{3}$, $\pi$, $R_1^2$, $h$) в числителе и знаменателе: $\frac{V_2}{V_1} = 2,25$.

Таким образом, объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Ответ: в 2,25 раза.

21. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен $10 \text{ см}^3$.

Дано:

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту.

$V_{конуса} = 10 \text{ см}^3$

Перевод в систему СИ:
$V_{конуса} = 10 \text{ см}^3 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 10 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

$V_{цилиндра}$ - ?

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot h$
где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Объем конуса вычисляется по формуле:
$V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

По условию задачи, цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Это значит, что значения $S_{осн}$ и $h$ в обеих формулах одинаковы.

Сравним формулы объемов:
$V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot h$
$V_{конуса} = \frac{1}{3} V_{цилиндра}$

Отсюда можно выразить объем цилиндра через объем конуса:
$V_{цилиндра} = 3 \cdot V_{конуса}$

Подставим известное значение объема конуса в полученное выражение:
$V_{цилиндра} = 3 \cdot 10 \text{ см}^3 = 30 \text{ см}^3$

Ответ: 30 см³.