Номер 10, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Дано:

$a_1$ — начальная длина ребра правильного тетраэдра.

$V_1$ — начальный объем правильного тетраэдра.

$a_2$ — новая длина ребра правильного тетраэдра.

$V_2$ — новый объем правильного тетраэдра.

$a_2 = 2 \cdot a_1$

Найти:

Во сколько раз увеличится объем, то есть найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

Решение:

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование формулы объема правильного тетраэдра.

Объем $V$ правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Пусть начальная длина ребра была $a_1$. Тогда начальный объем тетраэдра равен:

$V_1 = \frac{a_1^3\sqrt{2}}{12}$

После увеличения всех ребер в 2 раза, новая длина ребра стала $a_2 = 2a_1$. Новый объем $V_2$ будет равен:

$V_2 = \frac{a_2^3\sqrt{2}}{12} = \frac{(2a_1)^3\sqrt{2}}{12} = \frac{8a_1^3\sqrt{2}}{12}$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к начальному $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{8a_1^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{a_1^3\sqrt{2}}{12}} = \frac{8a_1^3\sqrt{2}}{12} \cdot \frac{12}{a_1^3\sqrt{2}} = 8$

Способ 2: Использование свойств подобных тел.

Если два тела подобны, то отношение их объемов равно кубу коэффициента подобия.

При увеличении всех ребер (линейных размеров) тетраэдра в 2 раза мы получаем новый тетраэдр, подобный исходному. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен 2.

Отношение объемов нового и старого тетраэдров будет равно:

$\frac{V_2}{V_1} = k^3$

Подставляем значение коэффициента подобия $k=2$:

$\frac{V_2}{V_1} = 2^3 = 8$

Оба способа показывают, что объем увеличится в 8 раз.

Ответ: объем правильного тетраэдра увеличится в 8 раз.