Номер 17, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в три раза больше первого?

Дано:

Высота жидкости в первом цилиндрическом сосуде, $h_1 = 18$ см.
Диаметр второго сосуда в три раза больше диаметра первого: $d_2 = 3d_1$.

Перевод в систему СИ:
$h_1 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$.

Найти:

Высоту жидкости во втором сосуде, $h_2$.

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде определяется по формуле $V = S \cdot h$, где $S$ — это площадь основания цилиндра, а $h$ — высота уровня жидкости.

Основание цилиндра представляет собой круг, площадь которого вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус. Поскольку радиус связан с диаметром соотношением $R = d/2$, формулу для площади можно записать через диаметр:
$S = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

Таким образом, объем жидкости в первом сосуде равен:
$V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$

Объем жидкости во втором сосуде будет равен:
$V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Поскольку всю жидкость переливают из первого сосуда во второй, ее объем остается неизменным, следовательно, $V_1 = V_2$. Приравняем объемы:
$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Мы можем сократить общий множитель $\frac{\pi}{4}$ в обеих частях уравнения:
$d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$

Из условия задачи известно, что $d_2 = 3d_1$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$d_1^2 \cdot h_1 = (3d_1)^2 \cdot h_2$
$d_1^2 \cdot h_1 = 9d_1^2 \cdot h_2$

Теперь разделим обе части уравнения на $d_1^2$ (диаметр основания не может быть равен нулю):
$h_1 = 9h_2$

Из этого соотношения выразим искомую высоту $h_2$:
$h_2 = \frac{h_1}{9}$

Подставим числовое значение высоты $h_1$:
$h_2 = \frac{18 \text{ см}}{9} = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.