Номер 18, страница 181 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Найдите объем конуса, площадь основания которого равна $2 \text{ см}^2$, а образующая равна 6 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Дано:

Площадь основания конуса $S_{осн} = 2 \text{ см}^2$

Образующая конуса $l = 6 \text{ см}$

Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

$S_{осн} = 2 \text{ см}^2 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$l = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Объем конуса $V$.

Решение:

Объем конуса определяется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $S_{осн}$ — это площадь основания конуса, а $H$ — его высота.

Площадь основания дана в условии задачи. Для нахождения объема необходимо определить высоту конуса $H$.

Высота конуса $H$, его образующая $l$ и радиус основания $R$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ — катетами.

Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол между образующей $l$ и радиусом $R$ в этом прямоугольном треугольнике. По условию, $\alpha = 30^\circ$.

Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Мы можем найти ее, используя тригонометрическую функцию синус:

$\sin(\alpha) = \frac{H}{l}$

Из этой формулы выражаем высоту $H$:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем известные значения:

$H = 6 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ)$

Так как значение $\sin(30^\circ)$ равно $\frac{1}{2}$, получаем:

$H = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}$

Теперь, зная высоту и площадь основания, мы можем вычислить объем конуса:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 2 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 2 \text{ см}^3$

Ответ: объем конуса равен $2 \text{ см}^3$.