Страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны 1 см, проходящее через середины ребер $AD$, $BD$ и $BC$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр ABCD, у которого все ребра равны.

Длина ребра $a = 1$ см.

Секущая плоскость проходит через точки K, L, M, где K — середина ребра AD, L — середина ребра BD, M — середина ребра BC.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Пусть K, L, M — середины ребер AD, BD и BC соответственно. Секущая плоскость определена этими тремя точками.

Отрезок KL соединяет середины сторон AD и BD в треугольнике ABD. Следовательно, KL является средней линией треугольника ABD. По свойству средней линии, отрезок KL параллелен стороне AB и равен ее половине: $KL \parallel AB$ и $KL = \frac{1}{2}AB$.

Отрезок LM соединяет середины сторон BD и BC в треугольнике BCD. Следовательно, LM является средней линией треугольника BCD. Поэтому $LM \parallel CD$ и $LM = \frac{1}{2}CD$.

Для построения полного сечения необходимо найти точки его пересечения со всеми ребрами тетраэдра. Секущая плоскость (KLM) содержит пря

6. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$ см, проходящее через вершины $A$, $C$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.
Длина ребра основания $a = 1 \text{ см}$.
Длина бокового ребра (высота) $h = 1 \text{ см}$.
Секущая плоскость проходит через вершины A, C, $D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.
Сечение строится путем последовательного соединения заданных точек и нахождения точек пересечения секущей плоскости с ребрами призмы.

а) Точки A и C лежат в плоскости нижнего основания ABCDEF. Соединяем их отрезком AC. Это след секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

б) Точки C и $D_1$ лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Соединяем их отрезком $CD_1$.

в) Секущая плоскость пересекает два параллельных основания призмы (ABCDEF и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием должна быть параллельна линии AC и проходить через точку $D_1$. В правильном шестиугольнике малая диагональ AC параллельна малой диагонали FD. Следовательно, в верхнем основании искомая линия - это отрезок $F_1D_1$.

г) Соединяем точку $F_1$ из верхнего основания с точкой A из нижнего основания. Отрезок $AF_1$ лежит в плоскости боковой грани $AFF_1A_1$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ACD_1F_1$.

2. Определение формы и площади сечения.
Найдем длины сторон полученного четырехугольника $ACD_1F_1$.

а) Сторона AC является малой диагональю правильного шестиугольника ABCDEF со стороной $a=1$ см. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$ $AC = \sqrt{3} \text{ см}$.

б) Сторона $CD_1$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Так как призма правильная, эта грань — прямоугольник. Поскольку все ребра призмы равны 1 см, грань $CDD_1C_1$ является квадратом со стороной 1 см. По теореме Пифагора для треугольника $CDD_1$: $CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ $CD_1 = \sqrt{2} \text{ см}$.

в) Сторона $D_1F_1$ является малой диагональю верхнего основания и равна диагонали AC нижнего основания. $D_1F_1 = AC = \sqrt{3} \text{ см}$.

г) Сторона $AF_1$ является диагональю боковой грани $AFF_1A_1$, которая также является квадратом со стороной 1 см. $AF_1 = CD_1 = \sqrt{2} \text{ см}$.

Мы получили четырехугольник $ACD_1F_1$ с попарно равными противолежащими сторонами ($AC=D_1F_1$ и $CD_1=AF_1$). Следовательно, $ACD_1F_1$ — параллелограмм.

Чтобы найти его площадь, проверим, не является ли он прямоугольником. Для этого определим угол между смежными сторонами, например, $\angle ACD_1$. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Проекцией наклонной $CD_1$ на плоскость основания ABCDEF является отрезок CD. Прямая AC лежит в плоскости основания. Найдем угол $\angle ACD$ между прямой AC и проекцией CD.

Угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. Треугольник ABC равнобедренный ($AB=BC=1$), угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$, значит, углы при основании $\angle BCA = \angle BAC = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Тогда $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Итак, прямая AC в плоскости основания перпендикулярна проекции CD наклонной $CD_1$. По теореме о трех перпендикулярах, прямая AC перпендикулярна и самой наклонной $CD_1$.

Следовательно, $\angle ACD_1 = 90^\circ$. Параллелограмм $ACD_1F_1$, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $ACD_1F_1$ равна произведению длин его смежных сторон: $S_{сеч} = S_{ACD_1F_1} = AC \cdot CD_1 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\sqrt{6} \text{ см}^2$.

7. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BC, B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – единичный, то есть его ребро $a=1$.

Секущая плоскость проходит через вершину $A$, середину ребра $BC$ (обозначим ее точкой $M$) и середину ребра $B_1C_1$ (обозначим ее точкой $N$).

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Построение сечения

Сначала построим искомое сечение. Для этого последовательно соединим точки, через которые проходит секущая плоскость, если они лежат в одной грани куба.

1. Точки $A$ и $M$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их и получаем отрезок $AM$, который является одной из сторон сечения.

2. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их и получаем отрезок $MN$ – еще одну сторону сечения.

3. Рассмотрим отрезок $MN$. Он соединяет середины сторон $BC$ и $B_1C_1$ в прямоугольнике $BCC_1B_1$. По свойству средней линии трапеции (и прямоугольника как частного случая) отрезок $MN$ параллелен боковым сторонам $BB_1$ и $CC_1$. Так как ребра куба $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, то $MN \parallel AA_1$.

4. Поскольку прямые $MN$ и $AA_1$ параллельны, через них проходит единственная плоскость. Эта плоскость содержит все четыре точки: $A$, $M$, $N$ и $A_1$. Следовательно, искомое сечение — это четырехугольник $AMNA_1$.

Определение вида сечения и нахождение его площади

Рассмотрим полученный четырехугольник $AMNA_1$.

Мы установили, что его противоположные стороны $AA_1$ и $MN$ параллельны. Кроме того, их длины равны длине ребра куба: $|AA_1| = |MN| = 1$.

Поскольку в четырехугольнике $AMNA_1$ две противоположные стороны параллельны и равны, он является параллелограммом.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как это куб. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $AM$. Это означает, что угол между сторонами $AA_1$ и $AM$ прямой: $\angle A_1AM = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $AMNA_1$ – это прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон: $S_{AMNA_1} = |AA_1| \cdot |AM|$.

Длина стороны $|AA_1|$ нам известна, это ребро куба: $|AA_1| = 1$.

Длину стороны $AM$ найдем из прямоугольного треугольника $ABM$, который лежит в плоскости основания ($\angle B = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны: $|AB|=1$ (ребро куба) и $|BM| = \frac{1}{2}|BC| = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора:

$|AM|^2 = |AB|^2 + |BM|^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$|AM| = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = |AA_1| \cdot |AM| = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

8. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C$ и середины ребер $AD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

9. Изобразите

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$ (единичный куб)

Секущая плоскость проходит через вершину $C$ и середины ребер $AD$ и $A_1D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Обозначим середину ребра $AD$ как точку $M$, а середину ребра $A_1D_1$ как точку $N$.

Построим сечение, соединяя заданные точки и находя новые точки пересечения секущей плоскости с ребрами куба:

- Точки $M$ и $C$ лежат в одной плоскости (нижняя грань $ABCD$). Соединим их отрезком $MC$. Это след секущей плоскости на грани $ABCD$.

- Точки $M$ и $N$ лежат в одной плоскости (боковая грань $ADD_1A_1$). Соединим их отрезком $MN$. Это след секущей плоскости на грани $ADD_1A_1$.

- Секущая плоскость пересекает две параллельные грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ по параллельным прямым. Прямая пересечения с гранью $ADD_1A_1$ — это $MN$. Следовательно, в грани $BCC_1B_1$ нужно провести прямую через точку $C$ параллельно $MN$.

- Отрезок $MN$ соединяет середины ребер $AD$ и $A_1D_1$ в прямоугольнике $ADD_1A_1$. Из этого следует, что отрезок $MN$ параллелен ребрам $AA_1$ и $DD_1$.

- Ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$, значит $MN \parallel CC_1$. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно $MN$, совпадает с ребром $CC_1$. Таким образом, точка $C_1$ (вершина куба) также принадлежит сечению.

- Точки $N$ и $C_1$ лежат в одной плоскости (верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$). Соединим их отрезком $NC_1$. Это след секущей плоскости на грани $A_1B_1C_1D_1$.

В результате построения получено искомое сечение — четырехугольник $MCC_1N$.

2. Определение вида сечения.

Рассмотрим полученный четырехугольник $MCC_1N$.

- Мы установили, что $MN \parallel CC_1$. Также, поскольку $MN$ соединяет середины сторон прямоугольника $ADD_1A_1$, его длина равна длине боковой стороны, то есть $MN = AA_1 = 1$. Длина ребра $CC_1$ также равна 1.

- В четырехугольнике $MCC_1N$ две противоположные стороны $MN$ и $CC_1$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, $MCC_1N$ — параллелограмм.

- Чтобы найти площадь, определим, является ли этот параллелограмм прямоугольником. Для этого проверим, является ли угол $\angle CMN$ прямым. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

- Ребро $CD$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $MD$ является ортогональной проекцией наклонной $MC$ на плоскость $ADD_1A_1$.

- Отрезок $MN$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Как мы выяснили, $MN \parallel DD_1$.

- Отрезок $MD$ является частью ребра $AD$. Так как ребра куба, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны, то $AD \perp DD_1$.

- Поскольку $MD$ лежит на $AD$, а $MN \parallel DD_1$, то $MD \perp MN$.

- По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($MD$) на плоскость перпендикулярна прямой ($MN$), лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная ($MC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $MC \perp MN$.

- Это означает, что угол $\angle CMN = 90^\circ$, и параллелограмм $MCC_1N$ является прямоугольником.

3. Вычисление площади сечения.

Площадь прямоугольника $MCC_1N$ равна произведению длин его смежных сторон $MC$ и $MN$.

- Длина стороны $MN$ равна ребру куба: $MN = 1$.

- Длину стороны $MC$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle MDC$ (угол $\angle MDC = 90^\circ$), который лежит в плоскости основания $ABCD$.

- Катет $DC$ равен ребру куба: $DC = 1$.

- Катет $MD$ равен половине ребра $AD$, так как $M$ — середина $AD$: $MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}$.

- $MC^2 = MD^2 + DC^2 = (\frac{1}{2})^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.

- $MC = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

- Площадь сечения равна площади прямоугольника $MCC_1N$:

$S_{сеч} = MC \cdot MN = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

9. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $B, B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная.
Длина ребра основания $AB = BC = AC = 1$ см.
Длина бокового ребра $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.
Сечение проходит через точки $B$, $B_1$ и $M$, где $M$ — середина $AC$.

$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения. Обозначим середину ребра $AC$ точкой $M$. Искомое сечение проходит через три заданные точки: $B$, $B_1$ и $M$. Соединим точки $B$ и $B_1$. Отрезок $BB_1$ является боковым ребром призмы и лежит в секущей плоскости. Соединим точки $B$ и $M$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$ и также принадлежит сечению. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, ее основания, плоскости $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$, параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая $BM$. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием будет проходить через точку $B_1$ и будет параллельна прямой $BM$.

Пусть $M_1$ — середина ребра $A_1C_1$. В равных равносторонних треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $BM$ и $B_1M_1$ соответственно параллельны друг другу ($BM \parallel B_1M_1$). Это значит, что секущая плоскость пересекает ребро $A_1C_1$ в его середине, точке $M_1$. Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $BMM_1B_1$.

2. Определение вида сечения. Поскольку призма правильная, она является прямой, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, $BB_1 \perp$ плоскости $(ABC)$. Так как отрезок $BM$ лежит в этой плоскости, то $BB_1 \perp BM$. Это означает, что угол $\angle MBB_1$ — прямой. Отрезок $MM_1$ соединяет середины ребер $AC$ и $A_1C_1$. В прямой призме он параллелен боковым ребрам и равен им по длине. Следовательно, $MM_1 \parallel BB_1$ и $MM_1 = BB_1 = 1$ см. Так как в четырехугольнике $BMM_1B_1$ две противоположные стороны ($BB_1$ и $MM_1$) параллельны и равны, он является параллелограммом. А поскольку у него есть прямой угол ($\angle MBB_1 = 90^\circ$), то этот параллелограмм — прямоугольник.

3. Вычисление площади сечения. Площадь прямоугольника $BMM_1B_1$ равна произведению длин его смежных сторон: $S = BM \cdot BB_1$. Длина стороны $BB_1$ равна длине бокового ребра призмы, то есть $BB_1 = 1$ см. Длину стороны $BM$ найдем из треугольника $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний со стороной $1$ см, его медиана $BM$ является также и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMC$ (с прямым углом при вершине $M$). Гипотенуза $BC=1$ см, катет $MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$ см. По теореме Пифагора: $BM^2 = BC^2 - MC^2$. $BM^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $BM = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь можем найти площадь сечения: $S_{сеч} = S_{BMM_1B_1} = BM \cdot BB_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

10. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BB_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, т.е. ребро $a=1$.
Сечение проходит через вершину A, середину M ребра $BB_1$ и середину N ребра $DD_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Построение сечения.
Для построения сечения и вычисления его площади введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину A, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер AB, AD и $AA_1$ соответственно. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Определим координаты заданных точек сечения:
- Вершина A, как начало координат, имеет координаты $A(0, 0, 0)$.
- Координаты вершин B и $B_1$ равны $B(1, 0, 0)$ и $B_1(1, 0, 1)$. Точка M является серединой ребра $BB_1$, поэтому ее координаты: $M(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = M(1, 0, \frac{1}{2})$.
- Координаты вершин D и $D_1$ равны $D(0, 1, 0)$ и $D_1(0, 1, 1)$. Точка N является серединой ребра $DD_1$, поэтому ее координаты: $N(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = N(0, 1, \frac{1}{2})$.

Секущая плоскость определена тремя точками A, M и N. Линии пересечения этой плоскости с гранями куба являются сторонами искомого сечения.
- Точки A и M лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок AM является стороной сечения.
- Точки A и N лежат в плоскости левой грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок AN является стороной сечения.
- Согласно свойству сечений, плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Левая грань $ADD_1A_1$ параллельна правой грани $BCC_1B_1$. Значит, линия пересечения с правой гранью должна быть параллельна отрезку AN и проходить через точку M. Этой линией является отрезок $MC_1$, где $C_1(1,1,1)$ — вершина куба. Проверим параллельность через векторы: $\vec{AN} = (0-0, 1-0, \frac{1}{2}-0) = (0, 1, \frac{1}{2})$ и $\vec{MC_1} = (1-1, 1-0, 1-\frac{1}{2}) = (0, 1, \frac{1}{2})$. Так как $\vec{AN} = \vec{MC_1}$, отрезки AN и $MC_1$ параллельны и равны.
- Аналогично, передняя грань $ABB_1A_1$ параллельна задней грани $CDD_1C_1$. Линия пересечения с задней гранью, проходящая через N, должна быть параллельна AM. Это отрезок $NC_1$. Проверим: $\vec{AM} = (1-0, 0-0, \frac{1}{2}-0) = (1, 0, \frac{1}{2})$ и $\vec{NC_1} = (1-0, 1-1, 1-\frac{1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$. Векторы равны.
Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $AM C_1 N$.

Вычисление площади сечения.
Определим вид четырехугольника $AM C_1 N$, найдя длины его сторон:
$AM = |\vec{AM}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$AN = |\vec{AN}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Поскольку $\vec{MC_1} = \vec{AN}$ и $\vec{NC_1} = \vec{AM}$, то длины сторон $MC_1$ и $C_1N$ также равны $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Все стороны четырехугольника равны, следовательно, $AM C_1 N$ — это ромб.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. Диагоналями ромба являются отрезки $AC_1$ и $MN$.
- Длина диагонали $AC_1$ — это длина главной диагонали единичного куба: $d_1 = AC_1 = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
- Длину диагонали $MN$ найдем по координатам точек $M(1, 0, \frac{1}{2})$ и $N(0, 1, \frac{1}{2})$:
$d_2 = MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

Теперь можем вычислить площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

11. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины A, C и середину ребра $C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a=1$.
Секущая плоскость проходит через вершины A, C и точку M — середину ребра $C_1D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Для построения сечения введём правую декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину D, направив ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC, и ось Oz вдоль ребра $DD_1$.

Координаты вершин куба и точки M будут следующими:

D(0, 0, 0)
A(1, 0, 0)
C(0, 1, 0)
$D_1$(0, 0, 1)
$C_1$(0, 1, 1)
M — середина $C_1D_1$, поэтому её координаты: $M(\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = M(0, 1/2, 1)$.

Сечение строится по трём заданным точкам: A(1, 0, 0), C(0, 1, 0), M(0, 1/2, 1).

а) Точки A и C лежат в одной грани $ABCD$ (плоскость $z=0$). Соединив их, получим след сечения на нижнем основании — отрезок AC.

б) Точки C и M лежат в одной грани $CDD_1C_1$ (плоскость $x=0$). Соединив их, получим след сечения на задней грани — отрезок CM.

в) Чтобы найти четвёртую вершину сечения, найдём уравнение плоскости, проходящей через точки A, C, M. Составим векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

$\vec{AM} = M - A = (0-1, 1/2-0, 1-0) = (-1, 1/2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости сечения найдём как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-0) - \mathbf{j}(-1-0) + \mathbf{k}(-1/2 - (-1)) = (1, 1, 1/2)$.

Для удобства возьмём коллинеарный вектор $(2, 2, 1)$. Уравнение плоскости имеет вид $2x + 2y + z + D = 0$. Подставим координаты точки A(1, 0, 0) для нахождения D:

$2(1) + 2(0) + 0 + D = 0 \implies D = -2$.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y + z - 2 = 0$.

г) Найдём точку пересечения этой плоскости с ребром $A_1D_1$. Координаты вершин: $A_1(1,0,1)$ и $D_1(0,0,1)$. Параметрическое уравнение прямой $A_1D_1$ имеет вид $(t, 0, 1)$, где $t \in [0, 1]$. Подставим в уравнение плоскости:

$2t + 2(0) + 1 - 2 = 0 \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$.

Так как $t=1/2$ принадлежит отрезку $[0,1]$, точка пересечения N существует и её координаты $N(1/2, 0, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1D_1$.

Таким образом, сечение является четырёхугольником ACMN, вершины которого: A(1,0,0), C(0,1,0), M(0, 1/2, 1), N(1/2, 0, 1).

2. Определение вида сечения и вычисление его площади.

Основания AC и NM лежат в плоскостях $z=0$ и $z=1$ соответственно. Так как плоскость сечения пересекает две параллельные плоскости ($z=0$ и $z=1$), то линии пересечения параллельны, то есть $AC \parallel NM$. Следовательно, четырёхугольник ACMN — трапеция.

Найдём длины оснований трапеции:

$|AC| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. (Диагональ единичного квадрата).

$|NM| = \sqrt{(1/2-0)^2 + (0-1/2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдём длины боковых сторон:

$|AN| = \sqrt{(1-1/2)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$|CM| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-1/2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как $|AN| = |CM|$, трапеция ACMN является равнобедренной.

Высоту равнобедренной трапеции $h$ можно найти по формуле: $h = \sqrt{c^2 - (\frac{b_1-b_2}{2})^2}$, где $c$ — боковая сторона, $b_1, b_2$ — основания.

$h = \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}$.

$h = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{10-1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$.

$S_{ACMN} = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.

12. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $A$, $D$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – правильная шестиугольная.

Все ребра равны 1 см (ребро основания и боковое ребро).

Секущая плоскость проходит через вершины A, D, C₁.

Перевод в СИ:

Длина ребра $l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Для удобства дальнейшие вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Построим сечение. Точки A и D лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, поэтому их можно соединить отрезком AD. Точки D и C₁ лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$, их также можно соединить отрезком DC₁.

2. Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости (верхнее и нижнее основания призмы) по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая AD. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием должна проходить через точку C₁ и быть параллельной прямой AD.

3. В основании призмы лежит правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике большая диагональ AD параллельна стороне BC. Значит, в верхнем основании искомая линия, проходящая через C₁, должна быть параллельна стороне B₁C₁. Эта линия совпадает с прямой B₁C₁, а значит, содержит отрезок B₁C₁. Таким образом, точка B₁ также принадлежит сечению.

4. Соединяя последовательно точки A, B₁, C₁ и D, получаем искомое сечение — четырёхугольник $AB_1C_1D$.

5. Определим вид этого четырёхугольника и найдём его площадь. Так как линии пересечения секущей плоскости с параллельными плоскостями оснований параллельны, то $AD \parallel B_1C_1$. Следовательно, четырёхугольник $AB_1C_1D$ — трапеция.

6. Найдём длины сторон трапеции:

- Основание AD является большой диагональю правильного шестиугольника со стороной 1 см. Её длина равна $AD = 2 \cdot 1 = 2$ см.

- Основание B₁C₁ является стороной правильного шестиугольника, его длина $B_1C_1 = 1$ см.

- Боковая сторона AB₁ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Так как все рёбра призмы равны 1 см, грань $ABB_1A_1$ — это квадрат со стороной 1 см. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABB_1$ имеем: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

- Аналогично, боковая сторона DC₁ является диагональю квадрата $CDD_1C_1$, поэтому её длина также равна $DC_1 = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

7. Так как боковые стороны трапеции равны ($AB_1 = DC_1 = \sqrt{2}$ см), то трапеция $AB_1C_1D$ является равнобедренной.

8. Найдём высоту трапеции $h$. Для этого опустим перпендикуляр $C_1H$ из вершины C₁ на большее основание AD. В равнобедренной трапеции отрезок HD, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности длин оснований: $HD = \frac{AD - B_1C_1}{2} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

9. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC_1$. По теореме Пифагора найдём катет $C_1H$, который является высотой трапеции:

$h = C_1H = \sqrt{DC_1^2 - HD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

10. Теперь вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot h$:

$S = \frac{AD + B_1C_1}{2} \cdot h = \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{4} \text{ см}^2$.

13. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - единичный.

Длина ребра куба $a = 1$.

Секущая плоскость проходит через точки: вершину B, точку M - середину ребра $AA_1$, и точку N - середину ребра $CC_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения

Для построения сечения и проведения вычислений введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину D(0,0,0), а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер DA, DC, $DD_1$ соответственно. В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты:

A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,0)

$A_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$

Найдем координаты заданных точек, через которые проходит плоскость сечения:

- Вершина B имеет координаты B(1,1,0).

- Точка M является серединой ребра $AA_1$. Ее координаты вычисляются как полусумма координат точек A и $A_1$: $M(\frac{1+1}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+1}{2}) = M(1; 0; 0.5)$.

- Точка N является серединой ребра $CC_1$. Ее координаты: $N(\frac{0+0}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}) = N(0; 1; 0.5)$.

Чтобы построить сечение, соединим точки, лежащие в одних гранях: BM в грани $AA_1B_1B$ и BN в грани $BB_1C_1C$. Далее воспользуемся свойством параллельности: секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым.

Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с гранью $ADD_1A_1$ (проходящая через M) должна быть параллельна отрезку BN.

Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с гранью $CDD_1C_1$ (проходящая через N) должна быть параллельна отрезку BM.

Найдем четвертую вершину сечения. Проведем через точку N прямую, параллельную BM, до пересечения с одним из ребер грани $CDD_1C_1$. Вектор $\vec{BM} = (1-1; 0-1; 0.5-0) = (0; -1; 0.5)$. Точка на этой прямой будет иметь вид $K = N + t \cdot \vec{BM} = (0; 1; 0.5) + t(0; -1; 0.5) = (0; 1-t; 0.5+0.5t)$. Проверим пересечение с ребром $DD_1$, для которого $y=0$. Получаем $1-t=0 \Rightarrow t=1$. При $t=1$ точка K имеет координаты $(0; 0; 0.5+0.5) = (0;0;1)$, что соответствует вершине $D_1$.

Таким образом, сечением является четырехугольник $BMD_1N$. Его вершины: B(1,1,0), M(1,0,0.5), $D_1$(0,0,1), N(0,1,0.5).

2. Определение вида четырехугольника и вычисление его площади

Определим вид четырехугольника $BMD_1N$. Так как его противоположные стороны параллельны по построению ($BM || ND_1$ и $BN || MD_1$), он является параллелограммом. Проверим длины его смежных сторон:

$|BM| = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$|BN| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как смежные стороны параллелограмма равны ($|BM|=|BN|$), то четырехугольник $BMD_1N$ является ромбом.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей. Диагоналями нашего ромба являются отрезки $BD_1$ и $MN$.

Найдем длину диагонали $BD_1$. Это пространственная диагональ куба. Ее длина для единичного куба равна $d_1 = |BD_1| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Найдем длину диагонали MN, используя координаты точек M(1,0,0.5) и N(0,1,0.5):

$d_2 = |MN| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{2}$.

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{BMD_1N} = \frac{1}{2} \cdot |BD_1| \cdot |MN| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

14. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B$ и середину ребра $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра $a = 1$

Сечение проходит через точки: вершину $A_1$, вершину $B$, середину ребра $CC_1$ (обозначим ее $M$).

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Для решения задачи введем трехмерную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$, направив оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$

$A_1(1, 0, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$, $C_1(0, 1, 1)$, $D_1(0, 0, 1)$

Секущая плоскость задана тремя точками:

• Вершина $A_1(1, 0, 1)$
• Вершина $B(1, 1, 0)$
• Точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Ее координаты равны полусумме координат точек $C(0, 1, 0)$ и $C_1(0, 1, 1)$: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$

Построение сечения:

1. Соединим точки, лежащие в одних гранях. Точки $A_1$ и $B$ лежат в грани $ABB_1A_1$, поэтому отрезок $A_1B$ — сторона сечения. Точки $B$ и $M$ лежат в грани $BCC_1B_1$, поэтому отрезок $BM$ — также сторона сечения.

2. Чтобы найти остальные вершины сечения, найдем след секущей плоскости на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Для этого продлим прямую $BM$ до пересечения с плоскостью верхней грани ($z=1$).

Уравнение прямой, проходящей через $B(1, 1, 0)$ и $M(0, 1, 0.5)$:Вектор направления $\vec{BM} = M - B = (0-1, 1-1, 0.5-0) = (-1, 0, 0.5)$.Параметрическое уравнение прямой: $\vec{r}(t) = B + t \cdot \vec{BM} = (1, 1, 0) + t(-1, 0, 0.5) = (1-t, 1, 0.5t)$.Пересечение с плоскостью $z=1$: $0.5t = 1 \implies t=2$.Координаты точки пересечения $P$: $P = (1-2, 1, 0.5 \cdot 2) = (-1, 1, 1)$.

3. Точка $P$ и точка $A_1$ лежат в плоскости $z=1$. Прямая $A_1P$ является следом секущей плоскости на верхней грани. Найдем, где эта прямая пересекает ребра верхней грани. Нас интересует пересечение с ребром $D_1C_1$, которое лежит на прямой $x=0, z=1$.Уравнение прямой $A_1P$:Направляющий вектор $\vec{A_1P} = P - A_1 = (-1-1, 1-0, 1-1) = (-2, 1, 0)$.Параметрическое уравнение: $\vec{q}(u) = A_1 + u \cdot \vec{A_1P} = (1, 0, 1) + u(-2, 1, 0) = (1-2u, u, 1)$.Пересечение с прямой $x=0$: $1-2u = 0 \implies u=0.5$.Координаты точки пересечения $N$: $N = (1-2 \cdot 0.5, 0.5, 1) = (0, 0.5, 1)$.Эта точка $N(0, 0.5, 1)$ лежит на ребре $D_1C_1$, поскольку ее координата $y$ находится в диапазоне $[0, 1]$. Точка $N$ является серединой ребра $D_1C_1$.

4. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник, вершинами которого являются точки $A_1, B, M, N$.

Нахождение площади сечения:

Определим тип четырехугольника $A_1BMN$, вычислив векторы его сторон:$\vec{A_1B} = B - A_1 = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$$\vec{NM} = M - N = (0-0, 1-0.5, 0.5-1) = (0, 0.5, -0.5)$

Поскольку $\vec{A_1B} = 2 \cdot \vec{NM}$, векторы коллинеарны, а стороны $A_1B$ и $NM$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $A_1BMN$ является трапецией.

Найдем длины оснований трапеции:$b_1 = |\vec{A_1B}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.$b_2 = |\vec{NM}| = \sqrt{0^2 + (0.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для вычисления площади трапеции по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$ найдем ее высоту $h$. Высота — это расстояние между параллельными прямыми $A_1B$ и $NM$. Найдем ее как длину перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на прямую $A_1B$.Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Точка $H$ лежит на прямой $A_1B$, заданной как $\vec{r}(t) = A_1 + t \cdot \vec{A_1B} = (1, t, 1-t)$.Вектор $\vec{NH}$ должен быть перпендикулярен направляющему вектору $\vec{A_1B}$.$\vec{NH} = H - N = (1, t, 1-t) - (0, 0.5, 1) = (1, t-0.5, -t)$.Скалярное произведение $\vec{NH} \cdot \vec{A_1B} = 0$:$1 \cdot 0 + (t-0.5) \cdot 1 + (-t) \cdot (-1) = 0$$t - 0.5 + t = 0 \implies 2t = 0.5 \implies t = 0.25$.Найдем вектор высоты $\vec{NH}$ при $t=0.25$:$\vec{NH} = (1, 0.25 - 0.5, -0.25) = (1, -0.25, -0.25)$.Длина этого вектора и есть высота $h$:$h = |\vec{NH}| = \sqrt{1^2 + (-0.25)^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{1 + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{18}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Вычисляем площадь трапеции:$S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.

15. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $A_1, B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.
Все ребра равны 1 см.
Сечение проходит через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $AC$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения

1. Обозначим середину ребра $AC$ точкой $M$. Секущая плоскость проходит через три точки: $A_1$, $B_1$ и $M$.

2. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Соединим их отрезком $A_1B_1$. Этот отрезок является стороной сечения.

3. Точки $A_1$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединим их отрезком $A_1M$. Этот отрезок также является стороной сечения.

4. Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости оснований призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) по параллельным прямым. Прямая пересечения с верхним основанием — это $A_1B_1$. Следовательно, прямая пересечения с нижним основанием должна проходить через точку $M$ и быть параллельной прямой $A_1B_1$.

5. Так как призма прямая, ребра оснований $A_1B_1$ и $AB$ параллельны. Значит, в плоскости нижнего основания нужно провести прямую через точку $M$ параллельно ребру $AB$.

6. В треугольнике $ABC$ отрезок, проходящий через середину стороны $AC$ (точку $M$) параллельно стороне $AB$, является средней линией треугольника. Обозначим точку пересечения этой средней линии со стороной $BC$ как $N$. Таким образом, $N$ — середина стороны $BC$, а отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

7. Соединив последовательно точки $A_1$, $B_1$, $N$ и $M$, получаем искомое сечение — четырехугольник $A_1B_1NM$.

8. Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$ и $MN \parallel AB$, то $A_1B_1 \parallel MN$. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, сечение $A_1B_1NM$ — это трапеция.

2. Вычисление площади сечения

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Найдем длины оснований трапеции $A_1B_1$ и $MN$:

- Длина основания $A_1B_1$ равна длине ребра призмы: $A_1B_1 = 1$ см.

- Длина основания $MN$ равна половине длины стороны $AB$, так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$: $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Теперь найдем высоту трапеции. Для этого сначала определим тип трапеции, вычислив длины ее боковых сторон $A_1M$ и $B_1N$.

- Призма правильная, значит она прямая, и ее боковые грани — прямоугольники (в данном случае — квадраты). Следовательно, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит и ребру $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AM$ (с прямым углом при вершине $A$). По теореме Пифагора:$A_1M^2 = AA_1^2 + AM^2$$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.$A_1M^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25 = \frac{5}{4}$$A_1M = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

- Аналогично, $BB_1 \perp BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BN$ (с прямым углом при вершине $B$).$BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.$B_1N^2 = BB_1^2 + BN^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25 = \frac{5}{4}$$B_1N = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Так как $A_1M = B_1N$, трапеция $A_1B_1NM$ является равнобедренной.

Высоту $h$ равнобедренной трапеции можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью большего основания. Длина этой части основания равна полуразности длин оснований:$\frac{A_1B_1 - MN}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ см.

По теореме Пифагора:$h^2 = (\text{боковая сторона})^2 - (\text{часть основания})^2$$h^2 = A_1M^2 - (\frac{A_1B_1 - MN}{2})^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{16} = \frac{20}{16} - \frac{1}{16} = \frac{19}{16}$$h = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S_{A_1B_1NM} = \frac{A_1B_1 + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$ см$^2$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$ см$^2$.

16. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $BB_1$, отстоящую от вершины B на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a=1$.
Секущая плоскость проходит через три точки:

• $K$ — середина ребра $AA_1$.
• $L$ — середина ребра $CC_1$.
• $M$ — точка на ребре $BB_1$, отстоящая от вершины $B$ на $0,25$, т.е. $BM = 0,25$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения и определение его вида.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$, а оси направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Координаты вершин куба будут следующими:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$, $C_1(1,1,1)$

Найдем координаты заданных точек $K$, $L$ и $M$.

• Точка $K$ — середина ребра $AA_1$. Ее координаты: $K\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = K\left(0, 0, \frac{1}{2}\right)$.
• Точка $L$ — середина ребра $CC_1$. Ее координаты: $L\left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = L\left(1, 1, \frac{1}{2}\right)$.
• Точка $M$ лежит на ребре $BB_1$ на расстоянии $0,25$ от $B$. Координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Движение от $B$ к $B_1$ происходит вдоль оси $z$. Следовательно, координаты точки $M$: $M\left(1, 0, 0 + \frac{1}{4}\right) = M\left(1, 0, \frac{1}{4}\right)$.

Чтобы построить сечение, необходимо найти все точки его пересечения с ребрами куба. У нас есть три точки $K$, $L$, $M$. Заметим, что точки $K$ и $L$ являются серединами противоположных ребер $AA_1$ и $CC_1$. Прямая $KL$ проходит через центр куба $O(1/2, 1/2, 1/2)$. Это означает, что сечение будет центрально-симметричным относительно центра куба.

Следовательно, сечение является параллелограммом. Четвертая вершина сечения, назовем ее $N$, должна лежать на ребре $DD_1$, противоположном ребру $BB_1$, на котором лежит точка $M$. Точка $N$ должна быть симметрична точке $M$ относительно центра куба $O$. Найдем ее координаты:

$O = \frac{M+N}{2} \implies N = 2O - M$
$N_x = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$
$N_y = 2 \cdot \frac{1}{2} - 0 = 1$
$N_z = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
Таким образом, $N\left(0, 1, \frac{3}{4}\right)$. Эта точка действительно лежит на ребре $DD_1$ (для которого $x=0, y=1$ и $0 \le z \le 1$).

Итак, сечение — это четырехугольник $KMLN$. Поскольку он центрально-симметричен, это параллелограмм. Проверим, является ли он ромбом, сравнив длины смежных сторон $KM$ и $KN$.

Найдем векторы сторон:

$\vec{KM} = M - K = \left(1-0, 0-0, \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) = \left(1, 0, -\frac{1}{4}\right)$

$\vec{KN} = N - K = \left(0-0, 1-0, \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\right) = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right)$

Найдем квадраты длин сторон:

$|\vec{KM}|^2 = 1^2 + 0^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$

$|\vec{KN}|^2 = 0^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 + \frac{1}{16} = \frac{17}{16}$

Так как $|\vec{KM}| = |\vec{KN}|$, смежные стороны параллелограмма равны. Следовательно, сечение $KMLN$ является ромбом.

2. Вычисление площади сечения.

Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей. Найдем длины диагоналей $KL$ и $MN$.

Вектор диагонали $\vec{KL}$:$\vec{KL} = L - K = (1-0, 1-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1, 1, 0)$

Длина диагонали $d_1 = |\vec{KL}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

Вектор диагонали $\vec{MN}$:$\vec{MN} = N - M = \left(0-1, 1-0, \frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right) = \left(-1, 1, \frac{1}{2}\right)$

Длина диагонали $d_2 = |\vec{MN}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Теперь вычислим площадь ромба:

$S_{KMLN} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь также можно найти через векторное произведение векторов смежных сторон $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$. Площадь параллелограмма равна модулю их векторного произведения.

$\vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1/4 \\ 0 & 1 & 1/4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(0 \cdot \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 1\right) - \mathbf{j}\left(1 \cdot \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot 0\right) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \frac{1}{4}\mathbf{i} - \frac{1}{4}\mathbf{j} + 1\mathbf{k}$

$S = |\vec{KM} \times \vec{KN}| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} + 1} = \sqrt{\frac{2}{16} + 1} = \sqrt{\frac{1}{8} + 1} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.

17. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 1$.
Секущая плоскость проходит через следующие точки:
- Вершина A.
- Точка M - середина ребра CD.
- Точка N - середина ребра A₁D₁.

Найти:
Построить сечение и найти его площадь $S_{сеч}$.

Решение:
1. Построение сечения.
Введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину A в начало координат (0,0,0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD, ось Oz вдоль ребра AA₁. Поскольку куб единичный, его вершины имеют следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.
Найдем координаты точек, через которые проходит плоскость сечения:
- Вершина $A(0,0,0)$.
- Точка M - середина ребра CD. Координаты M: $M(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(\frac{1}{2}, 1, 0)$.
- Точка N - середина ребра A₁D₁. Координаты N: $N(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = N(0, \frac{1}{2}, 1)$.

Теперь построим сечение, соединяя точки:
- Точки A и M лежат в плоскости нижнего основания (ABCD). Соединяем их и получаем отрезок AM - след сечения на грани ABCD.
- Точки A и N лежат в плоскости левой боковой грани (ADD₁A₁). Соединяем их и получаем отрезок AN - след сечения на грани ADD₁A₁.
- Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Грань A₁B₁C₁D₁ параллельна грани ABCD, поэтому след сечения на верхней грани будет параллелен отрезку AM. Проведем через точку N прямую, параллельную AM. Эта прямая пересечет ребро C₁D₁ в точке P.
- Найдем координаты точки P. Вектор $\vec{AM} = (\frac{1}{2}, 1, 0)$. Прямая, проходящая через N параллельно AM, имеет параметрическое уравнение $r(t) = N + t \cdot \vec{AM} = (0, \frac{1}{2}, 1) + t(\frac{1}{2}, 1, 0) = (\frac{1}{2}t, \frac{1}{2}+t, 1)$. Точка P лежит на ребре C₁D₁, где $y=1$. Подставив $y=1$, получим $1 = \frac{1}{2}+t$, откуда $t = \frac{1}{2}$. Координаты P: $x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, $y=1$, $z=1$. То есть $P(\frac{1}{4}, 1, 1)$.
- Соединяем точки N и P, а также M и P. Полученный четырехугольник ANPM и есть искомое сечение.

2. Нахождение площади сечения.
Четырехугольник ANPM является трапецией, так как $\vec{NP} = P-N = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 0)$ и $\vec{AM} = (\frac{1}{2}, 1, 0)$, откуда видно, что $\vec{AM} = 2\vec{NP}$, следовательно $AM \parallel NP$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $b_1, b_2$ - основания, $h$ - высота.
Длины оснований:
$b_1 = |\vec{AM}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$b_2 = |\vec{NP}| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{4}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.

Найдем высоту трапеции $h$. Это перпендикулярное расстояние между основаниями. Найдем его через боковую сторону AN. Длина $|AN| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Высота $h$ связана с боковой стороной $AN$ и ее проекцией на основание $AM$ по теореме Пифагора: $h^2 = |AN|^2 - (\text{proj}_{\vec{AM}} \vec{AN})^2$.
Длина проекции вектора $\vec{AN}$ на вектор $\vec{AM}$ равна: $\text{proj}_{\vec{AM}} \vec{AN} = \frac{|\vec{AN} \cdot \vec{AM}|}{|\vec{AM}|}$.
Скалярное произведение: $\vec{AN} \cdot \vec{AM} = (0, \frac{1}{2}, 1) \cdot (\frac{1}{2}, 1, 0) = \frac{1}{2}$.
Длина проекции: $\frac{|\frac{1}{2}|}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$h^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{5} = \frac{25-4}{20} = \frac{21}{20}$.
$h = \sqrt{\frac{21}{20}} = \frac{\sqrt{21}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{105}}{10}$.

Вычисляем площадь трапеции:
$S = \frac{|\vec{AM}| + |\vec{NP}|}{2} \cdot h = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{4}}{2} \cdot \frac{\sqrt{105}}{10} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{4}}{2} \cdot \frac{\sqrt{105}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{8} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 21}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{8} \cdot \frac{\sqrt{5}\sqrt{21}}{10} = \frac{3 \cdot 5 \sqrt{21}}{80} = \frac{15\sqrt{21}}{80} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: сечением является трапеция ANPM, ее площадь равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.

18. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$ см, проходящее через вершины $A$, $B$ и середину ребра $SC$. Найдите его площадь.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Длина всех ребер $l = 1$ см.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки A, B и M, где M - середина ребра SC.

Перевод в систему СИ:

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Для удобства дальнейшие вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Построение сечения

1. Точки A и B принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости основания пирамиды. Соединим их отрезком AB, который будет являться одной из сторон сечения.

2. Точки B и M (середина ребра SC) принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости боковой грани SBC. Соединим их отрезком BM, который также является стороной сечения.

3. Основание пирамиды ABCD - квадрат, следовательно, прямая AB параллельна прямой CD (AB || CD). Секущая плоскость $\alpha$ проходит через прямую AB, а плоскость грани (SCD) проходит через прямую CD. По свойству параллельных прямых и плоскостей, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью (SCD) должна быть параллельна прямым AB и CD.

4. Эта линия пересечения должна проходить через точку M, так как M принадлежит и секущей плоскости, и грани (SCD). Проведем в плоскости грани (SCD) через точку M прямую, параллельную CD, до пересечения с ребром SD. Назовем точку пересечения N. Отрезок MN - третья сторона сечения.

5. Точки A и N принадлежат плоскости грани SAD. Соединим их отрезком AN, который является четвертой стороной сечения.

Таким образом, искомым сечением является четырехугольник ABMN.

2. Определение вида сечения и нахождение длин его сторон

По построению MN || AB, значит, четырехугольник ABMN — это трапеция.

Найдем длины сторон этой трапеции.

Длина основания AB по условию равна 1 см: $AB = 1$ см.

Рассмотрим боковую грань SCD. Так как все ребра пирамиды равны 1 см, $\triangle SCD$ — равносторонний со стороной 1 см. M — середина SC, и по построению MN || CD. Следовательно, MN является средней линией треугольника SCD. Это означает, что N — середина ребра SD, а длина MN равна половине длины CD:

$MN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Теперь найдем длины боковых сторон трапеции AN и BM.

Грань SBC — это равносторонний треугольник со стороной 1 см. Отрезок BM соединяет вершину B с серединой противоположной стороны SC, то есть является медианой. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $l$ вычисляется по формуле $m = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Аналогично, грань SAD — равносторонний треугольник со стороной 1 см. Точка N является серединой SD, поэтому AN — медиана этого треугольника.

$AN = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как боковые стороны трапеции равны ($AN = BM$), трапеция ABMN является равнобедренной.

3. Вычисление площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Основания трапеции: $AB = 1$ см и $MN = 0.5$ см.

Для нахождения высоты $h$ трапеции ABMN проведем из вершины N перпендикуляр NH к основанию AB. В равнобедренной трапеции длина отрезка AH, отсекаемого высотой от вершины большего основания, равна полуразности длин оснований:

$AH = \frac{AB - MN}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ANH. По теореме Пифагора $AN^2 = AH^2 + h^2$. Отсюда можем выразить высоту $h$:

$h = \sqrt{AN^2 - AH^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S_{ABMN} = \frac{AB + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{16}$ см$^2$.

Ответ: площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{11}}{16}$ см$^2$.

19. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через середины ребер $AA_1, BB_1 \text{ и } AC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1 см.

Сечение проходит через точки K, L, M, где:

• K - середина ребра $AA_1$
• L - середина ребра $BB_1$
• M - середина ребра $A_1C_1$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Соединим точки K и L, так как они лежат в одной грани $ABB_1A_1$. Отрезок KL - след сечения на этой грани.

Поскольку призма правильная, боковые грани перпендикулярны основаниям, а ребра $AA_1$ и $BB_1$ параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ - квадрат со стороной 1 см. KL соединяет середины боковых сторон $AA_1$ и $BB_1$, значит KL параллельна основаниям $AB$ и $A_1B_1$ и равна им по длине. $KL || A_1B_1$ и $KL = 1$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую KL, параллельную плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. По свойству параллельных прямой и плоскости, линия пересечения секущей плоскости с плоскостью $A_1B_1C_1$ будет параллельна прямой KL, а значит и прямой $A_1B_1$.

Проведем через точку M (середину $A_1C_1$) прямую, параллельную $A_1B_1$, до пересечения с ребром $B_1C_1$ в точке N. В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок MN является средней линией, так как $M$ - середина $A_1C_1$ и $MN || A_1B_1$. Следовательно, N - середина ребра $B_1C_1$, а длина MN равна половине длины $A_1B_1$: $MN = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Соединив последовательно точки K, L, N и M, получим сечение - четырехугольник KLNM.

2. Определение вида сечения и нахождение длин его сторон.

Мы установили, что $KL || MN$. Следовательно, четырехугольник KLNM - трапеция. Основания трапеции: $KL = 1$ см и $MN = 0.5$ см.

Найдем длины боковых сторон LM и KN. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в пространстве.

Для стороны KN: спроецируем отрезок KN на плоскость нижнего основания ABC. Проекцией точки K будет точка A, а проекцией точки N (середины $B_1C_1$) будет точка N' (середина BC). Проекцией отрезка KN является отрезок AN'. AN' - медиана в равностороннем треугольнике ABC со стороной 1. Ее длина: $AN' = \sqrt{AB^2 - BN'^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Разность высот точек K и N равна разности высот точек A и N (относительно нижнего основания). Точка K находится на высоте $AK = 1/2$ см, а точка N - на высоте 1 см. Разность высот $\Delta z = 1 - 1/2 = 1/2$ см.

По теореме Пифагора: $KN^2 = (AN')^2 + (\Delta z)^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. Отсюда $KN = 1$ см.

Аналогично для стороны LM: ее проекция на основание - отрезок BM', где M' - середина AC. BM' также является медианой и ее длина равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Разность высот точек L и M также равна $1/2$ см. Следовательно, $LM^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1$, и $LM = 1$ см.

Так как боковые стороны $KN = LM = 1$ см, трапеция KLNM является равнобокой.

3. Нахождение площади трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, а $h$ - высота.

$a = KL = 1$ см, $b = MN = 0.5$ см.

Найдем высоту трапеции $h$. В равнобокой трапеции KLNM проведем высоту NH' из вершины N к основанию KL. В прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, высотой и частью основания, катет H'L можно найти по формуле $H'L = \frac{KL - MN}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25$ см. Однако, эта формула справедлива только для плоских трапеций, где проекция боковой стороны на основание равна этому значению. В нашем случае трапеция находится в наклонной плоскости, поэтому найдем высоту через пространственные координаты.

Введем систему координат: $A(0,0,0), B(1,0,0), C(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Тогда $A_1(0,0,1), B_1(1,0,1), C_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Координаты вершин сечения:

$K(0, 0, 1/2)$, $L(1, 0, 1/2)$, $M(1/4, \sqrt{3}/4, 1)$.

Высота трапеции $h$ - это расстояние от точки M до прямой KL. Найдем ее как высоту треугольника KLM, опущенную из вершины M на сторону KL. Площадь треугольника KLM можно найти через векторное произведение: $S_{\triangle KLM} = \frac{1}{2} |\vec{KL} \times \vec{KM}|$. Также $S_{\triangle KLM} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{KL}| \cdot h$.

Отсюда $h = \frac{|\vec{KL} \times \vec{KM}|}{|\vec{KL}|}$.

$\vec{KL} = (1-0, 0-0, 1/2-1/2) = (1, 0, 0)$.

$\vec{KM} = (1/4-0, \sqrt{3}/4-0, 1-1/2) = (1/4, \sqrt{3}/4, 1/2)$.

$\vec{KL} \times \vec{KM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/4 & \sqrt{3}/4 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0-0) - \mathbf{j}(1/2-0) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/4-0) = (0, -1/2, \sqrt{3}/4)$.

$|\vec{KL} \times \vec{KM}| = \sqrt{0^2 + (-1/2)^2 + (\sqrt{3}/4)^2} = \sqrt{1/4 + 3/16} = \sqrt{4/16 + 3/16} = \sqrt{7/16} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

$|\vec{KL}| = \sqrt{1^2+0^2+0^2} = 1$.

$h = \frac{\sqrt{7}/4}{1} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см.

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S_{KLNM} = \frac{KL + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$ см².

Ответ: Площадь сечения равна $ \frac{3\sqrt{7}}{16} $ см².

20. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $A_1B_1$, $CD$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 1$

Сечение проходит через три точки:

1. Точка K на ребре AB, $AK = 0.25$

2. Точка M - середина ребра $A_1B_1$

3. Точка N - середина ребра $CD$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$

Решение:

1. Построение сечения

Для решения задачи введем трехмерную прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ - вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ - вдоль ребра $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Определим координаты заданных точек в этой системе:

- Точка $K$ лежит на ребре $AB$ (ось $Ox$) на расстоянии 0.25 от вершины $A$. Следовательно, ее координаты $K(0.25, 0, 0)$.

- Точка $M$ является серединой ребра $A_1B_1$. Координаты вершин $A_1(0, 0, 1)$ и $B_1(1, 0, 1)$. Координаты точки $M$ как середины отрезка: $M\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = M(0.5, 0, 1)$.

- Точка $N$ является серединой ребра $CD$. Координаты вершин $C(1, 1, 0)$ и $D(0, 1, 0)$. Координаты точки $N$: $N\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = N(0.5, 1, 0)$.

Теперь построим сечение, проходящее через точки $K$, $M$ и $N$.

- Точки $K$ и $M$ лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$ (плоскость $y=0$). Поэтому отрезок $KM$ является одной из сторон сечения.

- Передняя грань $ABB_1A_1$ параллельна задней грани $DCC_1D_1$. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Значит, линия пересечения с задней гранью должна быть параллельна отрезку $KM$.

- Найдем вектор $\vec{KM}$: $\vec{KM} = (x_M - x_K, y_M - y_K, z_M - z_K) = (0.5 - 0.25, 0 - 0, 1 - 0) = (0.25, 0, 1)$.

- На задней грани $DCC_1D_1$ лежит точка $N$. Проведем через точку $N$ прямую, параллельную $KM$. Эта прямая пересечет одно из ребер задней грани в точке $P$. Вектор $\vec{NP}$ должен быть равен вектору $\vec{KM}$.

- Координаты точки $P$ можно найти, прибавив к координатам точки $N$ компоненты вектора $\vec{KM}$: $P = (x_N + 0.25, y_N + 0, z_N + 1) = (0.5 + 0.25, 1 + 0, 0 + 1) = (0.75, 1, 1)$.

- Убедимся, что точка $P(0.75, 1, 1)$ принадлежит кубу. Ее координаты удовлетворяют условиям $0 \le x \le 1$, $y = 1$, $z = 1$. Точка $P$ лежит на ребре $C_1D_1$. Соединяем точки $N$ и $P$ отрезком.

- Таким образом, мы получили все четыре вершины сечения: $K, M, P, N$. Соединяя их последовательно, получаем искомый четырехугольник $KMPN$. Отрезки $KN$ и $MP$ являются следами сечения на нижней и верхней гранях куба соответственно.

2. Нахождение площади сечения

Четырехугольник $KMPN$ является параллелограммом, так как по построению мы получили, что $\vec{KM}$ параллелен и равен $\vec{NP}$. Для полной уверенности найдем векторы двух других сторон:

$\vec{KN} = (x_N - x_K, y_N - y_K, z_N - z_K) = (0.5 - 0.25, 1 - 0, 0 - 0) = (0.25, 1, 0)$.

$\vec{MP} = (x_P - x_M, y_P - y_M, z_P - z_M) = (0.75 - 0.5, 1 - 0, 1 - 1) = (0.25, 1, 0)$.

Поскольку $\vec{KN} = \vec{MP}$, четырехугольник $KMPN$ действительно является параллелограммом.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю их векторного произведения. Возьмем векторы смежных сторон $\vec{KM} = (0.25, 0, 1)$ и $\vec{KN} = (0.25, 1, 0)$.

Вычислим их векторное произведение:

$\vec{S} = \vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0.25 & 0 & 1 \\ 0.25 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(0.25 \cdot 0 - 1 \cdot 0.25) + \vec{k}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.25)$

$\vec{S} = -1\vec{i} + 0.25\vec{j} + 0.25\vec{k} = (-1, 0.25, 0.25)$.

Площадь сечения $S_{KMPN}$ равна модулю (длине) этого вектора:

$S_{KMPN} = |\vec{S}| = \sqrt{(-1)^2 + (0.25)^2 + (0.25)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{1 + \frac{2}{16}} = \sqrt{1 + \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}}$.

Упростим полученное выражение:

$S_{KMPN} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{2}}{4}$.