Номер 10, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BB_1$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, т.е. ребро $a=1$.
Сечение проходит через вершину A, середину M ребра $BB_1$ и середину N ребра $DD_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Построение сечения.
Для построения сечения и вычисления его площади введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину A, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер AB, AD и $AA_1$ соответственно. Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.

Определим координаты заданных точек сечения:
- Вершина A, как начало координат, имеет координаты $A(0, 0, 0)$.
- Координаты вершин B и $B_1$ равны $B(1, 0, 0)$ и $B_1(1, 0, 1)$. Точка M является серединой ребра $BB_1$, поэтому ее координаты: $M(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = M(1, 0, \frac{1}{2})$.
- Координаты вершин D и $D_1$ равны $D(0, 1, 0)$ и $D_1(0, 1, 1)$. Точка N является серединой ребра $DD_1$, поэтому ее координаты: $N(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = N(0, 1, \frac{1}{2})$.

Секущая плоскость определена тремя точками A, M и N. Линии пересечения этой плоскости с гранями куба являются сторонами искомого сечения.
- Точки A и M лежат в плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Следовательно, отрезок AM является стороной сечения.
- Точки A и N лежат в плоскости левой грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок AN является стороной сечения.
- Согласно свойству сечений, плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Левая грань $ADD_1A_1$ параллельна правой грани $BCC_1B_1$. Значит, линия пересечения с правой гранью должна быть параллельна отрезку AN и проходить через точку M. Этой линией является отрезок $MC_1$, где $C_1(1,1,1)$ — вершина куба. Проверим параллельность через векторы: $\vec{AN} = (0-0, 1-0, \frac{1}{2}-0) = (0, 1, \frac{1}{2})$ и $\vec{MC_1} = (1-1, 1-0, 1-\frac{1}{2}) = (0, 1, \frac{1}{2})$. Так как $\vec{AN} = \vec{MC_1}$, отрезки AN и $MC_1$ параллельны и равны.
- Аналогично, передняя грань $ABB_1A_1$ параллельна задней грани $CDD_1C_1$. Линия пересечения с задней гранью, проходящая через N, должна быть параллельна AM. Это отрезок $NC_1$. Проверим: $\vec{AM} = (1-0, 0-0, \frac{1}{2}-0) = (1, 0, \frac{1}{2})$ и $\vec{NC_1} = (1-0, 1-1, 1-\frac{1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$. Векторы равны.
Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $AM C_1 N$.

Вычисление площади сечения.
Определим вид четырехугольника $AM C_1 N$, найдя длины его сторон:
$AM = |\vec{AM}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$AN = |\vec{AN}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Поскольку $\vec{MC_1} = \vec{AN}$ и $\vec{NC_1} = \vec{AM}$, то длины сторон $MC_1$ и $C_1N$ также равны $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Все стороны четырехугольника равны, следовательно, $AM C_1 N$ — это ромб.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей. Диагоналями ромба являются отрезки $AC_1$ и $MN$.
- Длина диагонали $AC_1$ — это длина главной диагонали единичного куба: $d_1 = AC_1 = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.
- Длину диагонали $MN$ найдем по координатам точек $M(1, 0, \frac{1}{2})$ и $N(0, 1, \frac{1}{2})$:
$d_2 = MN = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$.

Теперь можем вычислить площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.