Номер 14, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины $A$, $B$ и середину ребра $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра $a = 1$

Сечение проходит через точки: вершину $A_1$, вершину $B$, середину ребра $CC_1$ (обозначим ее $M$).

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Для решения задачи введем трехмерную систему координат. Поместим начало координат в вершину $D$, направив оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. В этой системе координат вершины куба имеют следующие координаты:

$A(1, 0, 0)$, $B(1, 1, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D(0, 0, 0)$

$A_1(1, 0, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$, $C_1(0, 1, 1)$, $D_1(0, 0, 1)$

Секущая плоскость задана тремя точками:

• Вершина $A_1(1, 0, 1)$
• Вершина $B(1, 1, 0)$
• Точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Ее координаты равны полусумме координат точек $C(0, 1, 0)$ и $C_1(0, 1, 1)$: $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$

Построение сечения:

1. Соединим точки, лежащие в одних гранях. Точки $A_1$ и $B$ лежат в грани $ABB_1A_1$, поэтому отрезок $A_1B$ — сторона сечения. Точки $B$ и $M$ лежат в грани $BCC_1B_1$, поэтому отрезок $BM$ — также сторона сечения.

2. Чтобы найти остальные вершины сечения, найдем след секущей плоскости на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Для этого продлим прямую $BM$ до пересечения с плоскостью верхней грани ($z=1$).

Уравнение прямой, проходящей через $B(1, 1, 0)$ и $M(0, 1, 0.5)$:Вектор направления $\vec{BM} = M - B = (0-1, 1-1, 0.5-0) = (-1, 0, 0.5)$.Параметрическое уравнение прямой: $\vec{r}(t) = B + t \cdot \vec{BM} = (1, 1, 0) + t(-1, 0, 0.5) = (1-t, 1, 0.5t)$.Пересечение с плоскостью $z=1$: $0.5t = 1 \implies t=2$.Координаты точки пересечения $P$: $P = (1-2, 1, 0.5 \cdot 2) = (-1, 1, 1)$.

3. Точка $P$ и точка $A_1$ лежат в плоскости $z=1$. Прямая $A_1P$ является следом секущей плоскости на верхней грани. Найдем, где эта прямая пересекает ребра верхней грани. Нас интересует пересечение с ребром $D_1C_1$, которое лежит на прямой $x=0, z=1$.Уравнение прямой $A_1P$:Направляющий вектор $\vec{A_1P} = P - A_1 = (-1-1, 1-0, 1-1) = (-2, 1, 0)$.Параметрическое уравнение: $\vec{q}(u) = A_1 + u \cdot \vec{A_1P} = (1, 0, 1) + u(-2, 1, 0) = (1-2u, u, 1)$.Пересечение с прямой $x=0$: $1-2u = 0 \implies u=0.5$.Координаты точки пересечения $N$: $N = (1-2 \cdot 0.5, 0.5, 1) = (0, 0.5, 1)$.Эта точка $N(0, 0.5, 1)$ лежит на ребре $D_1C_1$, поскольку ее координата $y$ находится в диапазоне $[0, 1]$. Точка $N$ является серединой ребра $D_1C_1$.

4. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник, вершинами которого являются точки $A_1, B, M, N$.

Нахождение площади сечения:

Определим тип четырехугольника $A_1BMN$, вычислив векторы его сторон:$\vec{A_1B} = B - A_1 = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$$\vec{NM} = M - N = (0-0, 1-0.5, 0.5-1) = (0, 0.5, -0.5)$

Поскольку $\vec{A_1B} = 2 \cdot \vec{NM}$, векторы коллинеарны, а стороны $A_1B$ и $NM$ параллельны. Следовательно, четырехугольник $A_1BMN$ является трапецией.

Найдем длины оснований трапеции:$b_1 = |\vec{A_1B}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.$b_2 = |\vec{NM}| = \sqrt{0^2 + (0.5)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для вычисления площади трапеции по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$ найдем ее высоту $h$. Высота — это расстояние между параллельными прямыми $A_1B$ и $NM$. Найдем ее как длину перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на прямую $A_1B$.Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Точка $H$ лежит на прямой $A_1B$, заданной как $\vec{r}(t) = A_1 + t \cdot \vec{A_1B} = (1, t, 1-t)$.Вектор $\vec{NH}$ должен быть перпендикулярен направляющему вектору $\vec{A_1B}$.$\vec{NH} = H - N = (1, t, 1-t) - (0, 0.5, 1) = (1, t-0.5, -t)$.Скалярное произведение $\vec{NH} \cdot \vec{A_1B} = 0$:$1 \cdot 0 + (t-0.5) \cdot 1 + (-t) \cdot (-1) = 0$$t - 0.5 + t = 0 \implies 2t = 0.5 \implies t = 0.25$.Найдем вектор высоты $\vec{NH}$ при $t=0.25$:$\vec{NH} = (1, 0.25 - 0.5, -0.25) = (1, -0.25, -0.25)$.Длина этого вектора и есть высота $h$:$h = |\vec{NH}| = \sqrt{1^2 + (-0.25)^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{1 + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{18}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Вычисляем площадь трапеции:$S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.