Номер 8, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C$ и середины ребер $AD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

9. Изобразите

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$ (единичный куб)

Секущая плоскость проходит через вершину $C$ и середины ребер $AD$ и $A_1D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Обозначим середину ребра $AD$ как точку $M$, а середину ребра $A_1D_1$ как точку $N$.

Построим сечение, соединяя заданные точки и находя новые точки пересечения секущей плоскости с ребрами куба:

- Точки $M$ и $C$ лежат в одной плоскости (нижняя грань $ABCD$). Соединим их отрезком $MC$. Это след секущей плоскости на грани $ABCD$.

- Точки $M$ и $N$ лежат в одной плоскости (боковая грань $ADD_1A_1$). Соединим их отрезком $MN$. Это след секущей плоскости на грани $ADD_1A_1$.

- Секущая плоскость пересекает две параллельные грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ по параллельным прямым. Прямая пересечения с гранью $ADD_1A_1$ — это $MN$. Следовательно, в грани $BCC_1B_1$ нужно провести прямую через точку $C$ параллельно $MN$.

- Отрезок $MN$ соединяет середины ребер $AD$ и $A_1D_1$ в прямоугольнике $ADD_1A_1$. Из этого следует, что отрезок $MN$ параллелен ребрам $AA_1$ и $DD_1$.

- Ребро $AA_1$ параллельно ребру $CC_1$, значит $MN \parallel CC_1$. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно $MN$, совпадает с ребром $CC_1$. Таким образом, точка $C_1$ (вершина куба) также принадлежит сечению.

- Точки $N$ и $C_1$ лежат в одной плоскости (верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$). Соединим их отрезком $NC_1$. Это след секущей плоскости на грани $A_1B_1C_1D_1$.

В результате построения получено искомое сечение — четырехугольник $MCC_1N$.

2. Определение вида сечения.

Рассмотрим полученный четырехугольник $MCC_1N$.

- Мы установили, что $MN \parallel CC_1$. Также, поскольку $MN$ соединяет середины сторон прямоугольника $ADD_1A_1$, его длина равна длине боковой стороны, то есть $MN = AA_1 = 1$. Длина ребра $CC_1$ также равна 1.

- В четырехугольнике $MCC_1N$ две противоположные стороны $MN$ и $CC_1$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, $MCC_1N$ — параллелограмм.

- Чтобы найти площадь, определим, является ли этот параллелограмм прямоугольником. Для этого проверим, является ли угол $\angle CMN$ прямым. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

- Ребро $CD$ перпендикулярно плоскости грани $ADD_1A_1$. Следовательно, отрезок $MD$ является ортогональной проекцией наклонной $MC$ на плоскость $ADD_1A_1$.

- Отрезок $MN$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$. Как мы выяснили, $MN \parallel DD_1$.

- Отрезок $MD$ является частью ребра $AD$. Так как ребра куба, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны, то $AD \perp DD_1$.

- Поскольку $MD$ лежит на $AD$, а $MN \parallel DD_1$, то $MD \perp MN$.

- По теореме о трех перпендикулярах: если проекция наклонной ($MD$) на плоскость перпендикулярна прямой ($MN$), лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная ($MC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $MC \perp MN$.

- Это означает, что угол $\angle CMN = 90^\circ$, и параллелограмм $MCC_1N$ является прямоугольником.

3. Вычисление площади сечения.

Площадь прямоугольника $MCC_1N$ равна произведению длин его смежных сторон $MC$ и $MN$.

- Длина стороны $MN$ равна ребру куба: $MN = 1$.

- Длину стороны $MC$ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle MDC$ (угол $\angle MDC = 90^\circ$), который лежит в плоскости основания $ABCD$.

- Катет $DC$ равен ребру куба: $DC = 1$.

- Катет $MD$ равен половине ребра $AD$, так как $M$ — середина $AD$: $MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}$.

- $MC^2 = MD^2 + DC^2 = (\frac{1}{2})^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.

- $MC = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

- Площадь сечения равна площади прямоугольника $MCC_1N$:

$S_{сеч} = MC \cdot MN = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{5}}{2}$.