Номер 1, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $BB_1$, $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Длина ребра куба $a = 1$ (единичный куб)

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки K, L, M, где:

K - середина ребра $AA_1$

L - середина ребра $BB_1$

M - середина ребра $B_1C_1$

Найти:

1. Построить сечение куба плоскостью $\alpha$.

2. Найти площадь этого сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину A, а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер AB, AD и $AA_1$ соответственно.

В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты точек K, L и M, через которые проходит секущая плоскость:

• K — середина ребра $AA_1$. $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 0, \frac{1}{2})$
• L — середина ребра $BB_1$. $L = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, \frac{1}{2})$
• M — середина ребра $B_1C_1$. $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = (1, \frac{1}{2}, 1)$

Построение сечения:

1. Точки K и L принадлежат одной грани $AA_1B_1B$. Соединяем их, получая отрезок KL — одну из сторон сечения.

2. Точки L и M лежат в грани $BB_1C_1C$. Однако, для полного построения сечения удобнее использовать свойство параллельности. Секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым.

3. Грань $AA_1B_1B$ (плоскость $x=1$, если начало в D) параллельна грани $DD_1C_1C$ ($x=0$). Но мы используем начало в А. Грань $AA_1D_1D$ (плоскость $x=0$) параллельна грани $BB_1C_1C$ (плоскость $x=1$). Линия пересечения сечением грани $AA_1D_1D$ должна быть параллельна линии пересечения грани $BB_1C_1C$. Линия пересечения в грани $BB_1C_1C$ проходит через точки L и M.

4. Найдем четвертую вершину сечения, точку P, лежащую на какой-либо грани. Так как KL - отрезок, соединяющий середины вертикальных ребер, он параллелен плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость сечения проходит через прямую KL и точку M. Так как прямая KL параллельна плоскости $A_1B_1C_1D_1$, то линия пересечения плоскости сечения с плоскостью $A_1B_1C_1D_1$ будет прямой, параллельной KL.

Эта прямая проходит через точку M и параллельна вектору $\vec{KL} = (1-0, 0-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1,0,0)$. Значит, в верхней грани сечение является отрезком прямой, параллельной оси Ox (и ребру $A_1B_1$). Эта прямая пересечет ребро $A_1D_1$ в точке P.

Точка M имеет координаты $(1, \frac{1}{2}, 1)$. Прямая, проходящая через M и параллельная $\vec{KL}$, имеет $y=\frac{1}{2}$ и $z=1$. Точка P, лежащая на ребре $A_1D_1$ (где $x=0$), будет иметь координаты $P(0, \frac{1}{2}, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1D_1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником KLMP, вершины которого — середины ребер $AA_1$, $BB_1$, $B_1C_1$ и $A_1D_1$.

Определение вида и площади сечения:

Рассмотрим четырехугольник KLMP с вершинами $K(0, 0, \frac{1}{2})$, $L(1, 0, \frac{1}{2})$, $M(1, \frac{1}{2}, 1)$ и $P(0, \frac{1}{2}, 1)$.

Найдем векторы его сторон:

$\vec{KL} = (1-0, 0-0, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}) = (1, 0, 0)$

$\vec{LM} = (1-1, \frac{1}{2}-0, 1-\frac{1}{2}) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

$\vec{MP} = (0-1, \frac{1}{2}-\frac{1}{2}, 1-1) = (-1, 0, 0)$

$\vec{PK} = (0-0, 0-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}-1) = (0, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$

Так как $\vec{KL} = -\vec{MP}$ и $\vec{LM} = -\vec{PK}$, противоположные стороны параллельны и равны, значит KLMP — параллелограмм.

Найдем длины смежных сторон:

$|\vec{KL}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$

$|\vec{LM}| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проверим, является ли параллелограмм прямоугольником, вычислив скалярное произведение векторов смежных сторон $\vec{KL}$ и $\vec{LM}$:

$\vec{KL} \cdot \vec{LM} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$

Поскольку скалярное произведение равно нулю, угол между сторонами KL и LM равен $90^{\circ}$. Следовательно, сечение KLMP является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон:

$S_{KLMP} = |\vec{KL}| \cdot |\vec{LM}| = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: Сечением является прямоугольник, вершины которого находятся в серединах ребер $AA_1$, $BB_1$, $B_1C_1$ и $A_1D_1$. Площадь этого сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$.