Номер 13, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $SA$ и $CD$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны 1 см, то есть: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми SA и CD, которое обозначается как $\rho(SA, CD)$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом параллельных плоскостей.

1. Прямые SA и CD являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны.

2. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, поэтому сторона CD параллельна стороне AB ($CD \parallel AB$).

3. Поскольку прямая CD параллельна прямой AB, а прямая AB лежит в плоскости грани SAB, то прямая CD параллельна всей плоскости SAB ($CD \parallel (SAB)$).

4. Расстояние от прямой CD до скрещивающейся с ней прямой SA (которая лежит в плоскости SAB) равно расстоянию от любой точки прямой CD до плоскости SAB. Для удобства выберем точку C.

5. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки C до плоскости (SAB). Это расстояние можно найти, вычислив объем тетраэдра SABC двумя способами.

Вычисление объема тетраэдра SABC.

С одной стороны, объем тетраэдра можно найти, приняв за основание треугольник ABC, а за высоту - высоту пирамиды SO (где O - центр квадрата ABCD).

Основание ABC — это прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами $AB = BC = 1$ см.

Его площадь: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.

Высота пирамиды SO находится из прямоугольного треугольника SOA. Гипотенуза $SA = 1$ см. Катет AO равен половине диагонали квадрата AC. Диагональ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Следовательно, $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle SOA$:

$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Объем тетраэдра SABC равен:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$ см$^3$.

С другой стороны, объем того же тетраэдра можно вычислить, приняв за основание треугольник SAB, а за высоту — искомое расстояние $h$ от точки C до плоскости (SAB).

Основание SAB — равносторонний треугольник, так как все ребра пирамиды равны 1 см.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a=1$ см равна:

$S_{SAB} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Объем тетраэдра SABC (или C-SAB) равен:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{SAB} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{h\sqrt{3}}{12}$.

Нахождение расстояния.

Приравнивая два выражения для объема, получаем:

$\frac{h\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{12}$

Отсюда:

$h\sqrt{3} = \sqrt{2}$

$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Искомое расстояние между прямыми SA и CD равно $h$.

Ответ: расстояние между прямыми SA и CD равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.