Номер 6, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма,
все ребра равны 1 см, т.е. $AB = BC = AC = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Решение:

Прямые $AA_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися, так как они не параллельны и не пересекаются. Прямая $AA_1$ принадлежит плоскости боковой грани $ABB_1A_1$, а прямая $BC_1$ пересекает эту плоскость в точке $B$, но не лежит в ней.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется как длина их общего перпендикуляра. Один из методов нахождения этого расстояния — это нахождение расстояния от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим плоскость боковой грани $BCC_1B_1$. Эта плоскость содержит прямую $BC_1$.

По определению правильной призмы, ее боковые ребра параллельны между собой. Следовательно, ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, а прямая $BB_1$ лежит в плоскости $(BCC_1)$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BCC_1)$.

Таким образом, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC_1$ равно расстоянию от прямой $AA_1$ до параллельной ей плоскости $(BCC_1)$.

Поскольку прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BCC_1)$, расстояние от любой точки прямой $AA_1$ до этой плоскости будет одинаковым. Выберем точку $A$ и найдем расстояние от нее до плоскости $(BCC_1)$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

В основании призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Проведем в этом треугольнике высоту $AH$ к стороне $BC$.

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Это означает, что плоскость боковой грани $(BCC_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Линией пересечения этих двух перпендикулярных плоскостей является прямая $BC$. Построеная нами высота $AH$ лежит в плоскости $(ABC)$ и перпендикулярна линии пересечения $BC$ ($AH \perp BC$).

Согласно свойству перпендикулярных плоскостей, если прямая, лежащая в одной из них, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и второй плоскости. Следовательно, $AH$ перпендикулярна плоскости $(BCC_1)$.

Это означает, что длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $(BCC_1)$, а следовательно, и расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Найдем длину высоты $AH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a = 1$ см. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому точка $H$ — середина стороны $BC$, и $BH = \frac{1}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора:
$AH^2 + BH^2 = AB^2$
$AH^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1^2$
$AH^2 + \frac{1}{4} = 1$
$AH^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$AH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.