Номер 7, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $C_1 D_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1 см.

Это означает, что сторона основания $a = 1$ см, и высота призмы $h = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Решение:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем это расстояние, используя метод проекций, а затем проверим результат методом координат.

Способ 1: Геометрический (метод проекций)

1. Прямые $AB$ и $C_1D_1$ являются скрещивающимися, так как прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$, а прямая $C_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$, и эти плоскости параллельны. При этом прямые $AB$ и $C_1D_1$ не параллельны друг другу (в проекции на основание они пересекаются).

2. Спроецируем прямую $C_1D_1$ на плоскость нижнего основания. Так как призма правильная (и, следовательно, прямая), проекцией отрезка $C_1D_1$ будет отрезок $CD$, равный и параллельный ему.

3. Теперь задача сводится к поиску расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $C_1D_1$, причем проекция второй прямой на плоскость первой — это прямая $CD$.

4. Рассмотрим прямые $AB$ и $CD$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Прямые, содержащие эти отрезки, пересекаются. Это означает, что существует единственная вертикальная прямая, которая пересекает обе прямые $AB$ и $C_1D_1$ (в их бесконечном продолжении). Эта вертикальная прямая и будет их общим перпендикуляром, так как обе прямые $AB$ и $C_1D_1$ перпендикулярны любой вертикальной прямой (поскольку они лежат в горизонтальных плоскостях).

5. Длина этого общего перпендикуляра будет равна расстоянию между плоскостями, в которых лежат наши прямые. Прямая $AB$ лежит в плоскости $z=0$, а прямая $C_1D_1$ — в плоскости $z=h=1$.

6. Таким образом, расстояние между прямыми равно высоте призмы.

По условию все ребра равны 1 см, значит, высота призмы $h = 1$ см.

Следовательно, искомое расстояние равно 1 см.

Способ 2: Метод координат (для проверки)

Введем систему координат с центром в центре нижнего основания $O(0,0,0)$ и осью $Ox$, проходящей через вершину $A$. Тогда координаты вершин:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C_1 = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
• $D_1 = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 1) = (-1, 0, 1)$

Расстояние $\rho$ между скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $M_1$ и $M_2$ с направляющими векторами $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ соответственно, находится по формуле:$\rho = \frac{|\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2})|}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}$

Для прямой $AB$: точка $M_1 = A(1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{s_1} = \vec{AB} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для прямой $C_1D_1$: точка $M_2 = C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, направляющий вектор $\vec{s_2} = \vec{C_1D_1} = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор между точками: $\vec{M_1M_2} = \vec{AC_1} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Векторное произведение: $\vec{s_1} \times \vec{s_2} = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Смешанное произведение: $\vec{AC_1} \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Искомое расстояние: $\rho = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Ответ: 1 см