Номер 11, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ – правильная треугольная призма.
Все ребра равны 1 см.
$AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = a = 1$ см.

$a = 1$ см = $0.01$ м.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$, то есть $d(AB, CB_1)$.

Решение:

Прямые $AB$ и $CB_1$ являются скрещивающимися, так как прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$, а прямая $CB_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$, не лежащей на прямой $AB$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$, так как основания призмы параллельны. Построим плоскость, проходящую через прямую $CB_1$ и параллельную прямой $AB$. Так как $A_1B_1 \parallel AB$, то плоскость, проходящая через точки $A_1$, $B_1$ и $C$, будет параллельна прямой $AB$. Эта плоскость $(A_1B_1C)$ содержит прямую $CB_1$, поскольку проходит через точки $C$ и $B_1$.

Таким образом, искомое расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB$ до плоскости $(A_1B_1C)$. Выберем точку $A$ и найдем расстояние от нее до плоскости $(A_1B_1C)$. Обозначим это расстояние как $h$.

Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом объемов. Рассмотрим тетраэдр $AA_1B_1C$. Его объем $V$ можно вычислить двумя способами.

1. С одной стороны, объем тетраэдра равен $V = \frac{1}{3} S_{A_1B_1C} \cdot h$, где $h = d(A, (A_1B_1C))$ – искомое расстояние.

2. С другой стороны, выберем в качестве основания тетраэдра грань $CAA_1$. Тогда объем $V = \frac{1}{3} S_{CAA_1} \cdot h_{B_1}$, где $h_{B_1}$ – высота, опущенная из вершины $B_1$ на плоскость $(CAA_1)$.

Найдем величины, необходимые для второго способа расчета объема. Плоскость $(CAA_1)$ совпадает с плоскостью боковой грани $(ACC_1A_1)$. Высота $h_{B_1}$ – это расстояние от точки $B_1$ до плоскости $(ACC_1A_1)$. Поскольку боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, то расстояние от точки $B_1$ до плоскости $(ACC_1A_1)$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AC$ в основании. В основании лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a=1$ см. Расстояние от $B$ до $AC$ – это высота треугольника $ABC$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $h_{B_1} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как призма правильная, боковая грань $ACC_1A_1$ является квадратом со стороной 1 см (поскольку все ребра равны 1 см). Треугольник $CAA_1$ является прямоугольным с катетами $AC=1$ см и $AA_1=1$ см. Его площадь $S_{CAA_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см$^2$.

Теперь можем вычислить объем тетраэдра: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{CAA_1} \cdot h_{B_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ см$^3$.

Теперь вернемся к первому способу. Найдем площадь треугольника $A_1B_1C$. Для этого определим длины его сторон:
- $A_1B_1 = 1$ см (ребро призмы).
- $CB_1$ – диагональ боковой грани $BCC_1B_1$, которая является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора, $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.
- $CA_1$ – диагональ боковой грани $ACC_1A_1$, которая также является квадратом. $CA_1 = \sqrt{AC^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Треугольник $A_1B_1C$ – равнобедренный со сторонами $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ и $1$. Найдем его площадь. Проведем высоту $CK$ к основанию $A_1B_1$. Так как треугольник равнобедренный, $K$ – середина $A_1B_1$, поэтому $A_1K = \frac{1}{2}$ см. Из прямоугольного треугольника $CKA_1$ по теореме Пифагора: $CK^2 = CA_1^2 - A_1K^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$. $CK = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Площадь треугольника $A_1B_1C$: $S_{A_1B_1C} = \frac{1}{2} \cdot A_1B_1 \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Наконец, найдем искомое расстояние $h$ из формулы объема: $h = \frac{3V}{S_{A_1B_1C}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{12}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{7}}{7} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$ см.