Номер 15, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$ см, а боковые ребра равны $2$ см, найдите расстояние между прямыми $SB$ и $AE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$

Сторона основания $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ см

Боковое ребро $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$ см

Найти:

Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$, которое обозначим как $\rho(SB, AE)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре основания пирамиды, точке $O$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$. Ось $Ox$ направим через вершины $A$ и $D$. Тогда основание $ABCDEF$ лежит в плоскости $Oxy$.

1. Найдем координаты вершин основания.

В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$ см.

Координаты вершин, лежащих в плоскости $z=0$, можно найти, зная, что угол между радиус-векторами соседних вершин составляет $60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

$A = (1 \cdot \cos(0^\circ), 1 \cdot \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

2. Найдем координаты вершины $S$.

Вершина $S$ лежит на оси $Oz$, поэтому ее координаты $(0, 0, h)$, где $h=SO$ - высота пирамиды. Найдем высоту из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$).

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, координаты вершины $S(0, 0, \sqrt{3})$.

3. Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми $SB$ и $AE$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Рассмотрим векторы, соответствующие диагоналям основания $AE$ и $BD$.

$\vec{AE} = E - A = (-\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{BD} = D - B = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Так как $\vec{AE} = \vec{BD}$, прямые $AE$ и $BD$ параллельны ($AE \parallel BD$).

Поскольку прямая $AE$ параллельна прямой $BD$, а прямая $BD$ лежит в плоскости $(SBD)$, то прямая $AE$ параллельна плоскости $(SBD)$.

Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $SB$ и $AE$ равно расстоянию от любой точки прямой $AE$ (например, точки $A$) до плоскости $(SBD)$.

$\rho(SB, AE) = \rho(AE, (SBD)) = \rho(A, (SBD))$

4. Составим уравнение плоскости $(SBD)$.

Уравнение плоскости имеет вид $ax+by+cz+d=0$, где $(a, b, c)$ - координаты вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости.

Найдем вектор нормали как векторное произведение векторов $\vec{DS}$ и $\vec{DB}$:

$\vec{DS} = S - D = (0 - (-1), 0 - 0, \sqrt{3} - 0) = (1, 0, \sqrt{3})$

$\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{n} = \vec{DS} \times \vec{DB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & \sqrt{3} \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2}) + \vec{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{3}{2}\vec{i} + \frac{3\sqrt{3}}{2}\vec{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{k}$

Координаты вектора нормали: $\vec{n} = (-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Для удобства можно взять коллинеарный вектор, умножив $\vec{n}$ на $-2$: $\vec{n'} = (3, -3\sqrt{3}, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $(SBD)$ имеет вид: $3x - 3\sqrt{3}y - \sqrt{3}z + d = 0$.

Для нахождения коэффициента $d$ подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$:

$3(-1) - 3\sqrt{3}(0) - \sqrt{3}(0) + d = 0 \implies -3 + d = 0 \implies d = 3$.

Уравнение плоскости $(SBD)$: $3x - 3\sqrt{3}y - \sqrt{3}z + 3 = 0$.

5. Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $3x - 3\sqrt{3}y - \sqrt{3}z + 3 = 0$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$:

$\rho = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

$\rho(A, (SBD)) = \frac{|3(1) - 3\sqrt{3}(0) - \sqrt{3}(0) + 3|}{\sqrt{3^2 + (-3\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|3+3|}{\sqrt{9 + 9 \cdot 3 + 3}} = \frac{6}{\sqrt{9+27+3}} = \frac{6}{\sqrt{39}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{6}{\sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{39}}{39} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

Ответ: Расстояние между прямыми $SB$ и $AE$ равно $\frac{2\sqrt{39}}{13}$ см.