Номер 6, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$ см, проходящее через вершины $A$, $C$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.
Длина ребра основания $a = 1 \text{ см}$.
Длина бокового ребра (высота) $h = 1 \text{ см}$.
Секущая плоскость проходит через вершины A, C, $D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.
Сечение строится путем последовательного соединения заданных точек и нахождения точек пересечения секущей плоскости с ребрами призмы.

а) Точки A и C лежат в плоскости нижнего основания ABCDEF. Соединяем их отрезком AC. Это след секущей плоскости на плоскости нижнего основания.

б) Точки C и $D_1$ лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Соединяем их отрезком $CD_1$.

в) Секущая плоскость пересекает два параллельных основания призмы (ABCDEF и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$) по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с верхним основанием должна быть параллельна линии AC и проходить через точку $D_1$. В правильном шестиугольнике малая диагональ AC параллельна малой диагонали FD. Следовательно, в верхнем основании искомая линия - это отрезок $F_1D_1$.

г) Соединяем точку $F_1$ из верхнего основания с точкой A из нижнего основания. Отрезок $AF_1$ лежит в плоскости боковой грани $AFF_1A_1$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ACD_1F_1$.

2. Определение формы и площади сечения.
Найдем длины сторон полученного четырехугольника $ACD_1F_1$.

а) Сторона AC является малой диагональю правильного шестиугольника ABCDEF со стороной $a=1$ см. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$ $AC = \sqrt{3} \text{ см}$.

б) Сторона $CD_1$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Так как призма правильная, эта грань — прямоугольник. Поскольку все ребра призмы равны 1 см, грань $CDD_1C_1$ является квадратом со стороной 1 см. По теореме Пифагора для треугольника $CDD_1$: $CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ $CD_1 = \sqrt{2} \text{ см}$.

в) Сторона $D_1F_1$ является малой диагональю верхнего основания и равна диагонали AC нижнего основания. $D_1F_1 = AC = \sqrt{3} \text{ см}$.

г) Сторона $AF_1$ является диагональю боковой грани $AFF_1A_1$, которая также является квадратом со стороной 1 см. $AF_1 = CD_1 = \sqrt{2} \text{ см}$.

Мы получили четырехугольник $ACD_1F_1$ с попарно равными противолежащими сторонами ($AC=D_1F_1$ и $CD_1=AF_1$). Следовательно, $ACD_1F_1$ — параллелограмм.

Чтобы найти его площадь, проверим, не является ли он прямоугольником. Для этого определим угол между смежными сторонами, например, $\angle ACD_1$. Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах.

Проекцией наклонной $CD_1$ на плоскость основания ABCDEF является отрезок CD. Прямая AC лежит в плоскости основания. Найдем угол $\angle ACD$ между прямой AC и проекцией CD.

Угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. Треугольник ABC равнобедренный ($AB=BC=1$), угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$, значит, углы при основании $\angle BCA = \angle BAC = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Тогда $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Итак, прямая AC в плоскости основания перпендикулярна проекции CD наклонной $CD_1$. По теореме о трех перпендикулярах, прямая AC перпендикулярна и самой наклонной $CD_1$.

Следовательно, $\angle ACD_1 = 90^\circ$. Параллелограмм $ACD_1F_1$, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $ACD_1F_1$ равна произведению длин его смежных сторон: $S_{сеч} = S_{ACD_1F_1} = AC \cdot CD_1 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\sqrt{6} \text{ см}^2$.