Номер 13, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B$ и середины ребер $AA_1$, $CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - единичный.

Длина ребра куба $a = 1$.

Секущая плоскость проходит через точки: вершину B, точку M - середину ребра $AA_1$, и точку N - середину ребра $CC_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения

Для построения сечения и проведения вычислений введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину D(0,0,0), а оси Ox, Oy, Oz направим вдоль ребер DA, DC, $DD_1$ соответственно. В этой системе координат вершины единичного куба будут иметь следующие координаты:

A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D(0,0,0)

$A_1(1,0,1)$, $B_1(1,1,1)$, $C_1(0,1,1)$, $D_1(0,0,1)$

Найдем координаты заданных точек, через которые проходит плоскость сечения:

- Вершина B имеет координаты B(1,1,0).

- Точка M является серединой ребра $AA_1$. Ее координаты вычисляются как полусумма координат точек A и $A_1$: $M(\frac{1+1}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{0+1}{2}) = M(1; 0; 0.5)$.

- Точка N является серединой ребра $CC_1$. Ее координаты: $N(\frac{0+0}{2}; \frac{1+1}{2}; \frac{0+1}{2}) = N(0; 1; 0.5)$.

Чтобы построить сечение, соединим точки, лежащие в одних гранях: BM в грани $AA_1B_1B$ и BN в грани $BB_1C_1C$. Далее воспользуемся свойством параллельности: секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по параллельным прямым.

Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с гранью $ADD_1A_1$ (проходящая через M) должна быть параллельна отрезку BN.

Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны. Следовательно, линия пересечения плоскости сечения с гранью $CDD_1C_1$ (проходящая через N) должна быть параллельна отрезку BM.

Найдем четвертую вершину сечения. Проведем через точку N прямую, параллельную BM, до пересечения с одним из ребер грани $CDD_1C_1$. Вектор $\vec{BM} = (1-1; 0-1; 0.5-0) = (0; -1; 0.5)$. Точка на этой прямой будет иметь вид $K = N + t \cdot \vec{BM} = (0; 1; 0.5) + t(0; -1; 0.5) = (0; 1-t; 0.5+0.5t)$. Проверим пересечение с ребром $DD_1$, для которого $y=0$. Получаем $1-t=0 \Rightarrow t=1$. При $t=1$ точка K имеет координаты $(0; 0; 0.5+0.5) = (0;0;1)$, что соответствует вершине $D_1$.

Таким образом, сечением является четырехугольник $BMD_1N$. Его вершины: B(1,1,0), M(1,0,0.5), $D_1$(0,0,1), N(0,1,0.5).

2. Определение вида четырехугольника и вычисление его площади

Определим вид четырехугольника $BMD_1N$. Так как его противоположные стороны параллельны по построению ($BM || ND_1$ и $BN || MD_1$), он является параллелограммом. Проверим длины его смежных сторон:

$|BM| = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$|BN| = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как смежные стороны параллелограмма равны ($|BM|=|BN|$), то четырехугольник $BMD_1N$ является ромбом.

Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$, где $d_1$ и $d_2$ - длины его диагоналей. Диагоналями нашего ромба являются отрезки $BD_1$ и $MN$.

Найдем длину диагонали $BD_1$. Это пространственная диагональ куба. Ее длина для единичного куба равна $d_1 = |BD_1| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$.

Найдем длину диагонали MN, используя координаты точек M(1,0,0.5) и N(0,1,0.5):

$d_2 = |MN| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0.5-0.5)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{2}$.

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{BMD_1N} = \frac{1}{2} \cdot |BD_1| \cdot |MN| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.