Номер 17, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $CD, A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 1$.
Секущая плоскость проходит через следующие точки:
- Вершина A.
- Точка M - середина ребра CD.
- Точка N - середина ребра A₁D₁.

Найти:
Построить сечение и найти его площадь $S_{сеч}$.

Решение:
1. Построение сечения.
Введем прямоугольную систему координат. Поместим вершину A в начало координат (0,0,0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD, ось Oz вдоль ребра AA₁. Поскольку куб единичный, его вершины имеют следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.
Найдем координаты точек, через которые проходит плоскость сечения:
- Вершина $A(0,0,0)$.
- Точка M - середина ребра CD. Координаты M: $M(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(\frac{1}{2}, 1, 0)$.
- Точка N - середина ребра A₁D₁. Координаты N: $N(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = N(0, \frac{1}{2}, 1)$.

Теперь построим сечение, соединяя точки:
- Точки A и M лежат в плоскости нижнего основания (ABCD). Соединяем их и получаем отрезок AM - след сечения на грани ABCD.
- Точки A и N лежат в плоскости левой боковой грани (ADD₁A₁). Соединяем их и получаем отрезок AN - след сечения на грани ADD₁A₁.
- Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным прямым. Грань A₁B₁C₁D₁ параллельна грани ABCD, поэтому след сечения на верхней грани будет параллелен отрезку AM. Проведем через точку N прямую, параллельную AM. Эта прямая пересечет ребро C₁D₁ в точке P.
- Найдем координаты точки P. Вектор $\vec{AM} = (\frac{1}{2}, 1, 0)$. Прямая, проходящая через N параллельно AM, имеет параметрическое уравнение $r(t) = N + t \cdot \vec{AM} = (0, \frac{1}{2}, 1) + t(\frac{1}{2}, 1, 0) = (\frac{1}{2}t, \frac{1}{2}+t, 1)$. Точка P лежит на ребре C₁D₁, где $y=1$. Подставив $y=1$, получим $1 = \frac{1}{2}+t$, откуда $t = \frac{1}{2}$. Координаты P: $x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, $y=1$, $z=1$. То есть $P(\frac{1}{4}, 1, 1)$.
- Соединяем точки N и P, а также M и P. Полученный четырехугольник ANPM и есть искомое сечение.

2. Нахождение площади сечения.
Четырехугольник ANPM является трапецией, так как $\vec{NP} = P-N = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 0)$ и $\vec{AM} = (\frac{1}{2}, 1, 0)$, откуда видно, что $\vec{AM} = 2\vec{NP}$, следовательно $AM \parallel NP$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$, где $b_1, b_2$ - основания, $h$ - высота.
Длины оснований:
$b_1 = |\vec{AM}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$b_2 = |\vec{NP}| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{4}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.

Найдем высоту трапеции $h$. Это перпендикулярное расстояние между основаниями. Найдем его через боковую сторону AN. Длина $|AN| = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Высота $h$ связана с боковой стороной $AN$ и ее проекцией на основание $AM$ по теореме Пифагора: $h^2 = |AN|^2 - (\text{proj}_{\vec{AM}} \vec{AN})^2$.
Длина проекции вектора $\vec{AN}$ на вектор $\vec{AM}$ равна: $\text{proj}_{\vec{AM}} \vec{AN} = \frac{|\vec{AN} \cdot \vec{AM}|}{|\vec{AM}|}$.
Скалярное произведение: $\vec{AN} \cdot \vec{AM} = (0, \frac{1}{2}, 1) \cdot (\frac{1}{2}, 1, 0) = \frac{1}{2}$.
Длина проекции: $\frac{|\frac{1}{2}|}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$h^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1}{\sqrt{5}})^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{5} = \frac{25-4}{20} = \frac{21}{20}$.
$h = \sqrt{\frac{21}{20}} = \frac{\sqrt{21}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{105}}{10}$.

Вычисляем площадь трапеции:
$S = \frac{|\vec{AM}| + |\vec{NP}|}{2} \cdot h = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{4}}{2} \cdot \frac{\sqrt{105}}{10} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{4}}{2} \cdot \frac{\sqrt{105}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{8} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 21}}{10} = \frac{3\sqrt{5}}{8} \cdot \frac{\sqrt{5}\sqrt{21}}{10} = \frac{3 \cdot 5 \sqrt{21}}{80} = \frac{15\sqrt{21}}{80} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: сечением является трапеция ANPM, ее площадь равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.