Номер 15, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $A_1, B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.
Все ребра равны 1 см.
Сечение проходит через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $AC$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения

1. Обозначим середину ребра $AC$ точкой $M$. Секущая плоскость проходит через три точки: $A_1$, $B_1$ и $M$.

2. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Соединим их отрезком $A_1B_1$. Этот отрезок является стороной сечения.

3. Точки $A_1$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Соединим их отрезком $A_1M$. Этот отрезок также является стороной сечения.

4. Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости оснований призмы ($ABC$ и $A_1B_1C_1$) по параллельным прямым. Прямая пересечения с верхним основанием — это $A_1B_1$. Следовательно, прямая пересечения с нижним основанием должна проходить через точку $M$ и быть параллельной прямой $A_1B_1$.

5. Так как призма прямая, ребра оснований $A_1B_1$ и $AB$ параллельны. Значит, в плоскости нижнего основания нужно провести прямую через точку $M$ параллельно ребру $AB$.

6. В треугольнике $ABC$ отрезок, проходящий через середину стороны $AC$ (точку $M$) параллельно стороне $AB$, является средней линией треугольника. Обозначим точку пересечения этой средней линии со стороной $BC$ как $N$. Таким образом, $N$ — середина стороны $BC$, а отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

7. Соединив последовательно точки $A_1$, $B_1$, $N$ и $M$, получаем искомое сечение — четырехугольник $A_1B_1NM$.

8. Поскольку $A_1B_1 \parallel AB$ и $MN \parallel AB$, то $A_1B_1 \parallel MN$. Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, является трапецией. Таким образом, сечение $A_1B_1NM$ — это трапеция.

2. Вычисление площади сечения

Площадь трапеции вычисляется по формуле:$S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Найдем длины оснований трапеции $A_1B_1$ и $MN$:

- Длина основания $A_1B_1$ равна длине ребра призмы: $A_1B_1 = 1$ см.

- Длина основания $MN$ равна половине длины стороны $AB$, так как $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$: $MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Теперь найдем высоту трапеции. Для этого сначала определим тип трапеции, вычислив длины ее боковых сторон $A_1M$ и $B_1N$.

- Призма правильная, значит она прямая, и ее боковые грани — прямоугольники (в данном случае — квадраты). Следовательно, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию $ABC$, а значит и ребру $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AM$ (с прямым углом при вершине $A$). По теореме Пифагора:$A_1M^2 = AA_1^2 + AM^2$$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.$A_1M^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25 = \frac{5}{4}$$A_1M = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

- Аналогично, $BB_1 \perp BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BN$ (с прямым углом при вершине $B$).$BN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.$B_1N^2 = BB_1^2 + BN^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1 + 0.25 = 1.25 = \frac{5}{4}$$B_1N = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Так как $A_1M = B_1N$, трапеция $A_1B_1NM$ является равнобедренной.

Высоту $h$ равнобедренной трапеции можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и частью большего основания. Длина этой части основания равна полуразности длин оснований:$\frac{A_1B_1 - MN}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ см.

По теореме Пифагора:$h^2 = (\text{боковая сторона})^2 - (\text{часть основания})^2$$h^2 = A_1M^2 - (\frac{A_1B_1 - MN}{2})^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\frac{1}{4})^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{16} = \frac{20}{16} - \frac{1}{16} = \frac{19}{16}$$h = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ см.

Теперь можем вычислить площадь трапеции:$S_{A_1B_1NM} = \frac{A_1B_1 + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$ см$^2$.

Ответ: $S_{сеч} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$ см$^2$.