Номер 18, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$ см, проходящее через вершины $A$, $B$ и середину ребра $SC$. Найдите его площадь.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида.

Длина всех ребер $l = 1$ см.

Секущая плоскость $\alpha$ проходит через точки A, B и M, где M - середина ребра SC.

Перевод в систему СИ:

$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Для удобства дальнейшие вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Построение сечения

1. Точки A и B принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости основания пирамиды. Соединим их отрезком AB, который будет являться одной из сторон сечения.

2. Точки B и M (середина ребра SC) принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости боковой грани SBC. Соединим их отрезком BM, который также является стороной сечения.

3. Основание пирамиды ABCD - квадрат, следовательно, прямая AB параллельна прямой CD (AB || CD). Секущая плоскость $\alpha$ проходит через прямую AB, а плоскость грани (SCD) проходит через прямую CD. По свойству параллельных прямых и плоскостей, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью (SCD) должна быть параллельна прямым AB и CD.

4. Эта линия пересечения должна проходить через точку M, так как M принадлежит и секущей плоскости, и грани (SCD). Проведем в плоскости грани (SCD) через точку M прямую, параллельную CD, до пересечения с ребром SD. Назовем точку пересечения N. Отрезок MN - третья сторона сечения.

5. Точки A и N принадлежат плоскости грани SAD. Соединим их отрезком AN, который является четвертой стороной сечения.

Таким образом, искомым сечением является четырехугольник ABMN.

2. Определение вида сечения и нахождение длин его сторон

По построению MN || AB, значит, четырехугольник ABMN — это трапеция.

Найдем длины сторон этой трапеции.

Длина основания AB по условию равна 1 см: $AB = 1$ см.

Рассмотрим боковую грань SCD. Так как все ребра пирамиды равны 1 см, $\triangle SCD$ — равносторонний со стороной 1 см. M — середина SC, и по построению MN || CD. Следовательно, MN является средней линией треугольника SCD. Это означает, что N — середина ребра SD, а длина MN равна половине длины CD:

$MN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Теперь найдем длины боковых сторон трапеции AN и BM.

Грань SBC — это равносторонний треугольник со стороной 1 см. Отрезок BM соединяет вершину B с серединой противоположной стороны SC, то есть является медианой. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $l$ вычисляется по формуле $m = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Аналогично, грань SAD — равносторонний треугольник со стороной 1 см. Точка N является серединой SD, поэтому AN — медиана этого треугольника.

$AN = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как боковые стороны трапеции равны ($AN = BM$), трапеция ABMN является равнобедренной.

3. Вычисление площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции находится по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота.

Основания трапеции: $AB = 1$ см и $MN = 0.5$ см.

Для нахождения высоты $h$ трапеции ABMN проведем из вершины N перпендикуляр NH к основанию AB. В равнобедренной трапеции длина отрезка AH, отсекаемого высотой от вершины большего основания, равна полуразности длин оснований:

$AH = \frac{AB - MN}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 = \frac{1}{4}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ANH. По теореме Пифагора $AN^2 = AH^2 + h^2$. Отсюда можем выразить высоту $h$:

$h = \sqrt{AN^2 - AH^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$ см.

Теперь вычислим площадь трапеции:

$S_{ABMN} = \frac{AB + MN}{2} \cdot h = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{16}$ см$^2$.

Ответ: площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{11}}{16}$ см$^2$.