Номер 12, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $A$, $D$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – правильная шестиугольная.

Все ребра равны 1 см (ребро основания и боковое ребро).

Секущая плоскость проходит через вершины A, D, C₁.

Перевод в СИ:

Длина ребра $l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Для удобства дальнейшие вычисления будем производить в сантиметрах.

1. Построим сечение. Точки A и D лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, поэтому их можно соединить отрезком AD. Точки D и C₁ лежат в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$, их также можно соединить отрезком DC₁.

2. Секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости (верхнее и нижнее основания призмы) по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая AD. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием должна проходить через точку C₁ и быть параллельной прямой AD.

3. В основании призмы лежит правильный шестиугольник. В правильном шестиугольнике большая диагональ AD параллельна стороне BC. Значит, в верхнем основании искомая линия, проходящая через C₁, должна быть параллельна стороне B₁C₁. Эта линия совпадает с прямой B₁C₁, а значит, содержит отрезок B₁C₁. Таким образом, точка B₁ также принадлежит сечению.

4. Соединяя последовательно точки A, B₁, C₁ и D, получаем искомое сечение — четырёхугольник $AB_1C_1D$.

5. Определим вид этого четырёхугольника и найдём его площадь. Так как линии пересечения секущей плоскости с параллельными плоскостями оснований параллельны, то $AD \parallel B_1C_1$. Следовательно, четырёхугольник $AB_1C_1D$ — трапеция.

6. Найдём длины сторон трапеции:

- Основание AD является большой диагональю правильного шестиугольника со стороной 1 см. Её длина равна $AD = 2 \cdot 1 = 2$ см.

- Основание B₁C₁ является стороной правильного шестиугольника, его длина $B_1C_1 = 1$ см.

- Боковая сторона AB₁ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Так как все рёбра призмы равны 1 см, грань $ABB_1A_1$ — это квадрат со стороной 1 см. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABB_1$ имеем: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

- Аналогично, боковая сторона DC₁ является диагональю квадрата $CDD_1C_1$, поэтому её длина также равна $DC_1 = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

7. Так как боковые стороны трапеции равны ($AB_1 = DC_1 = \sqrt{2}$ см), то трапеция $AB_1C_1D$ является равнобедренной.

8. Найдём высоту трапеции $h$. Для этого опустим перпендикуляр $C_1H$ из вершины C₁ на большее основание AD. В равнобедренной трапеции отрезок HD, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности длин оснований: $HD = \frac{AD - B_1C_1}{2} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

9. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC_1$. По теореме Пифагора найдём катет $C_1H$, который является высотой трапеции:

$h = C_1H = \sqrt{DC_1^2 - HD^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

10. Теперь вычислим площадь трапеции по формуле $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot h$:

$S = \frac{AD + B_1C_1}{2} \cdot h = \frac{2 + 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{7}}{4} \text{ см}^2$.