Номер 9, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, проходящее через вершины $B, B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная.
Длина ребра основания $AB = BC = AC = 1$ см.
Длина бокового ребра $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$ см.
Сечение проходит через точки $B$, $B_1$ и $M$, где $M$ — середина $AC$.

$1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения. Обозначим середину ребра $AC$ точкой $M$. Искомое сечение проходит через три заданные точки: $B$, $B_1$ и $M$. Соединим точки $B$ и $B_1$. Отрезок $BB_1$ является боковым ребром призмы и лежит в секущей плоскости. Соединим точки $B$ и $M$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости нижнего основания $ABC$ и также принадлежит сечению. Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, ее основания, плоскости $(ABC)$ и $(A_1B_1C_1)$, параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая $BM$. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием будет проходить через точку $B_1$ и будет параллельна прямой $BM$.

Пусть $M_1$ — середина ребра $A_1C_1$. В равных равносторонних треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $BM$ и $B_1M_1$ соответственно параллельны друг другу ($BM \parallel B_1M_1$). Это значит, что секущая плоскость пересекает ребро $A_1C_1$ в его середине, точке $M_1$. Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $BMM_1B_1$.

2. Определение вида сечения. Поскольку призма правильная, она является прямой, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, $BB_1 \perp$ плоскости $(ABC)$. Так как отрезок $BM$ лежит в этой плоскости, то $BB_1 \perp BM$. Это означает, что угол $\angle MBB_1$ — прямой. Отрезок $MM_1$ соединяет середины ребер $AC$ и $A_1C_1$. В прямой призме он параллелен боковым ребрам и равен им по длине. Следовательно, $MM_1 \parallel BB_1$ и $MM_1 = BB_1 = 1$ см. Так как в четырехугольнике $BMM_1B_1$ две противоположные стороны ($BB_1$ и $MM_1$) параллельны и равны, он является параллелограммом. А поскольку у него есть прямой угол ($\angle MBB_1 = 90^\circ$), то этот параллелограмм — прямоугольник.

3. Вычисление площади сечения. Площадь прямоугольника $BMM_1B_1$ равна произведению длин его смежных сторон: $S = BM \cdot BB_1$. Длина стороны $BB_1$ равна длине бокового ребра призмы, то есть $BB_1 = 1$ см. Длину стороны $BM$ найдем из треугольника $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний со стороной $1$ см, его медиана $BM$ является также и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMC$ (с прямым углом при вершине $M$). Гипотенуза $BC=1$ см, катет $MC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$ см. По теореме Пифагора: $BM^2 = BC^2 - MC^2$. $BM^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $BM = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Теперь можем найти площадь сечения: $S_{сеч} = S_{BMM_1B_1} = BM \cdot BB_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.