Номер 11, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершины A, C и середину ребра $C_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный, следовательно, длина его ребра $a=1$.
Секущая плоскость проходит через вершины A, C и точку M — середину ребра $C_1D_1$.

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1. Построение сечения.

Для построения сечения введём правую декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину D, направив ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy вдоль ребра DC, и ось Oz вдоль ребра $DD_1$.

Координаты вершин куба и точки M будут следующими:

D(0, 0, 0)
A(1, 0, 0)
C(0, 1, 0)
$D_1$(0, 0, 1)
$C_1$(0, 1, 1)
M — середина $C_1D_1$, поэтому её координаты: $M(\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = M(0, 1/2, 1)$.

Сечение строится по трём заданным точкам: A(1, 0, 0), C(0, 1, 0), M(0, 1/2, 1).

а) Точки A и C лежат в одной грани $ABCD$ (плоскость $z=0$). Соединив их, получим след сечения на нижнем основании — отрезок AC.

б) Точки C и M лежат в одной грани $CDD_1C_1$ (плоскость $x=0$). Соединив их, получим след сечения на задней грани — отрезок CM.

в) Чтобы найти четвёртую вершину сечения, найдём уравнение плоскости, проходящей через точки A, C, M. Составим векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

$\vec{AM} = M - A = (0-1, 1/2-0, 1-0) = (-1, 1/2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости сечения найдём как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AM}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 1/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1-0) - \mathbf{j}(-1-0) + \mathbf{k}(-1/2 - (-1)) = (1, 1, 1/2)$.

Для удобства возьмём коллинеарный вектор $(2, 2, 1)$. Уравнение плоскости имеет вид $2x + 2y + z + D = 0$. Подставим координаты точки A(1, 0, 0) для нахождения D:

$2(1) + 2(0) + 0 + D = 0 \implies D = -2$.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y + z - 2 = 0$.

г) Найдём точку пересечения этой плоскости с ребром $A_1D_1$. Координаты вершин: $A_1(1,0,1)$ и $D_1(0,0,1)$. Параметрическое уравнение прямой $A_1D_1$ имеет вид $(t, 0, 1)$, где $t \in [0, 1]$. Подставим в уравнение плоскости:

$2t + 2(0) + 1 - 2 = 0 \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$.

Так как $t=1/2$ принадлежит отрезку $[0,1]$, точка пересечения N существует и её координаты $N(1/2, 0, 1)$. Эта точка является серединой ребра $A_1D_1$.

Таким образом, сечение является четырёхугольником ACMN, вершины которого: A(1,0,0), C(0,1,0), M(0, 1/2, 1), N(1/2, 0, 1).

2. Определение вида сечения и вычисление его площади.

Основания AC и NM лежат в плоскостях $z=0$ и $z=1$ соответственно. Так как плоскость сечения пересекает две параллельные плоскости ($z=0$ и $z=1$), то линии пересечения параллельны, то есть $AC \parallel NM$. Следовательно, четырёхугольник ACMN — трапеция.

Найдём длины оснований трапеции:

$|AC| = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. (Диагональ единичного квадрата).

$|NM| = \sqrt{(1/2-0)^2 + (0-1/2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдём длины боковых сторон:

$|AN| = \sqrt{(1-1/2)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

$|CM| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-1/2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1/4 + 1} = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Так как $|AN| = |CM|$, трапеция ACMN является равнобедренной.

Высоту равнобедренной трапеции $h$ можно найти по формуле: $h = \sqrt{c^2 - (\frac{b_1-b_2}{2})^2}$, где $c$ — боковая сторона, $b_1, b_2$ — основания.

$h = \sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{4} - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2}$.

$h = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{5}{4} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{10-1}{8}} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{\sqrt{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$.

$S_{ACMN} = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{9 \cdot 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{9}{8}$.