Номер 7, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

7. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BC, B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ – единичный, то есть его ребро $a=1$.

Секущая плоскость проходит через вершину $A$, середину ребра $BC$ (обозначим ее точкой $M$) и середину ребра $B_1C_1$ (обозначим ее точкой $N$).

Найти:

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

Построение сечения

Сначала построим искомое сечение. Для этого последовательно соединим точки, через которые проходит секущая плоскость, если они лежат в одной грани куба.

1. Точки $A$ и $M$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их и получаем отрезок $AM$, который является одной из сторон сечения.

2. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединяем их и получаем отрезок $MN$ – еще одну сторону сечения.

3. Рассмотрим отрезок $MN$. Он соединяет середины сторон $BC$ и $B_1C_1$ в прямоугольнике $BCC_1B_1$. По свойству средней линии трапеции (и прямоугольника как частного случая) отрезок $MN$ параллелен боковым сторонам $BB_1$ и $CC_1$. Так как ребра куба $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, то $MN \parallel AA_1$.

4. Поскольку прямые $MN$ и $AA_1$ параллельны, через них проходит единственная плоскость. Эта плоскость содержит все четыре точки: $A$, $M$, $N$ и $A_1$. Следовательно, искомое сечение — это четырехугольник $AMNA_1$.

Определение вида сечения и нахождение его площади

Рассмотрим полученный четырехугольник $AMNA_1$.

Мы установили, что его противоположные стороны $AA_1$ и $MN$ параллельны. Кроме того, их длины равны длине ребра куба: $|AA_1| = |MN| = 1$.

Поскольку в четырехугольнике $AMNA_1$ две противоположные стороны параллельны и равны, он является параллелограммом.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как это куб. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $AM$. Это означает, что угол между сторонами $AA_1$ и $AM$ прямой: $\angle A_1AM = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, сечение $AMNA_1$ – это прямоугольник.

Площадь прямоугольника равна произведению длин его смежных сторон: $S_{AMNA_1} = |AA_1| \cdot |AM|$.

Длина стороны $|AA_1|$ нам известна, это ребро куба: $|AA_1| = 1$.

Длину стороны $AM$ найдем из прямоугольного треугольника $ABM$, который лежит в плоскости основания ($\angle B = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны: $|AB|=1$ (ребро куба) и $|BM| = \frac{1}{2}|BC| = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора:

$|AM|^2 = |AB|^2 + |BM|^2 = 1^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$|AM| = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = |AA_1| \cdot |AM| = 1 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{5}}{2}$.