Номер 16, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.
Длина всех ребер $a = 1$ см.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$, то есть $\rho(BB_1, EF_1)$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $EF_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Для нахождения этого расстояния можно использовать следующий метод: найти расстояние от одной прямой до плоскости, содержащей вторую прямую и параллельной первой.

Рассмотрим прямую $BB_1$ и плоскость грани $EFF_1E_1$. Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, она является прямой призмой. Это означает, что все ее боковые ребра перпендикулярны основаниям и параллельны друг другу. Следовательно, боковое ребро $BB_1$ параллельно боковому ребру $EE_1$: $BB_1 \parallel EE_1$.

Прямая $EE_1$ лежит в плоскости грани $(EFF_1E_1)$. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Таким образом, прямая $BB_1$ параллельна плоскости $(EFF_1E_1)$.

Расстояние от прямой $BB_1$ до прямой $EF_1$, лежащей в плоскости $(EFF_1E_1)$, равно расстоянию от любой точки прямой $BB_1$ до плоскости $(EFF_1E_1)$. Возьмем точку $B$ на прямой $BB_1$. Искомое расстояние равно $\rho(B, (EFF_1E_1))$.

Так как призма прямая, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, плоскость $(EFF_1E_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCDEF)$.

Расстояние от точки $B$, лежащей в плоскости основания, до плоскости боковой грани $(EFF_1E_1)$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на линию пересечения этих плоскостей, то есть на прямую $EF$. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой, содержащей сторону $EF$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. В частности, сторона $BC$ параллельна главной диагонали $AD$, а сторона $FE$ также параллельна главной диагонали $AD$. Следовательно, $BC \parallel FE$.

Расстояние от точки $B$ (которая лежит на прямой $BC$) до прямой $FE$ равно расстоянию между параллельными прямыми $BC$ и $FE$.

Найдем это расстояние. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Расстояние от центра правильного многоугольника до его стороны называется апофемой. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ апофема $h$ равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае $a=1$ см, поэтому расстояние от центра $O$ до любой стороны равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Прямые $BC$ и $FE$ находятся по разные стороны от центра $O$. Расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой из этих прямых: $\rho(BC, FE) = \rho(O, BC) + \rho(O, FE) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $EF_1$ равно $\sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.