Номер 10, страница 173 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Длина всех ребер $AB = BC = AC = AA_1 = CC_1 = BB_1 = 1$ см.

Перевод в СИ: $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$, которое обозначим как $\rho(CC_1, AB)$.

Решение:

По определению, правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований.

Прямые $CC_1$ и $AB$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим основание призмы — треугольник $ABC$. Так как призма правильная, треугольник $ABC$ является равносторонним, и по условию все его стороны равны 1 см.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CH$ из вершины $C$ на сторону $AB$. В равностороннем треугольнике высота также является и медианой, поэтому точка $H$ — это середина отрезка $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$.

Так как призма является правильной, ее боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Из этого следует, что прямая $CC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$. В частности, $CC_1 \perp CH$.

Таким образом, мы установили, что отрезок $CH$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым: $CH \perp AB$ и $CH \perp CC_1$. Поскольку точка $C$ принадлежит прямой $CC_1$, а точка $H$ принадлежит прямой $AB$, отрезок $CH$ является общим перпендикуляром к прямым $CC_1$ и $AB$. Его длина и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $CH$ в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$ см. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$.

Гипотенуза $AC = 1$ см (по условию).

Катет $AH$ равен половине стороны $AB$, так как в равностороннем треугольнике высота $CH$ является также и медианой: $AH = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$ см.

По теореме Пифагора $AC^2 = AH^2 + CH^2$:

$CH^2 = AC^2 - AH^2$

$CH^2 = 1^2 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

$CH = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $CC_1$ и $AB$ равно длине отрезка $CH$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.