Номер 5, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.

Дано:

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁

Ребро куба $a = 1$ (единичный куб)

Прямые $l_1 = AA_1$ и $l_2 = BD_1$

Найти:

Расстояние между прямыми AA₁ и BD₁, которое обозначим как $\rho(AA_1, BD_1)$.

Решение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Также это расстояние можно найти как расстояние от одной из прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Прямые $AA_1$ и $BD_1$ являются скрещивающимися. Рассмотрим плоскость диагонального сечения $BB_1D_1D$. Эта плоскость содержит прямую $BD_1$. Ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$, так как $ABB_1A_1$ — квадрат. По признаку параллельности прямой и плоскости, если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Следовательно, прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BB_1D_1D)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BD_1$ равно расстоянию от прямой $AA_1$ до плоскости $(BB_1D_1D)$. Так как прямая $AA_1$ параллельна плоскости $(BB_1D_1D)$, то расстояние от любой точки прямой $AA_1$ до этой плоскости будет одинаковым. Найдем расстояние от точки $A$ до плоскости $(BB_1D_1D)$.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Плоскость основания $(ABCD)$ перпендикулярна плоскости диагонального сечения $(BB_1D_1D)$, так как ребро $B_1B$ перпендикулярно плоскости $(ABCD)$. Их линия пересечения — прямая $BD$. Перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $(BB_1D_1D)$ будет лежать в плоскости $(ABCD)$ и будет перпендикулярен линии их пересечения $BD$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $BD$ в квадрате $ABCD$. В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, отрезок $AO$ является перпендикуляром от точки $A$ к прямой $BD$.

Найдем длину диагонали $AC$ в квадрате $ABCD$ со стороной $a=1$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому искомое расстояние равно: $\rho(A, BD) = AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BD_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.