Номер 16, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки А до плоскости $DEF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер равна $a = 1 \text{ см}$.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $DEF_1$, обозначим его $\rho(A, (DEF_1))$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с центром $O$ в центре нижнего основания призмы $ABCDEF$. Направим ось $Ox$ через вершину $A$, а ось $Oz$ – вдоль бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная, ее основание – правильный шестиугольник. Сторона основания равна $a=1$, высота призмы (длина бокового ребра) также равна $h=1$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника.

Определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

1. Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $a=1$ от начала координат. Ее координаты: $A(1, 0, 0)$.

2. Точка $D$ является противоположной вершиной для $A$ в шестиугольнике и лежит на оси $Ox$. Ее координаты: $D(-1, 0, 0)$.

3. Вершина $E$ получается поворотом вершины $A$ на угол $240^\circ$ вокруг центра $O$. Ее координаты:

$E(a \cdot \cos(240^\circ), a \cdot \sin(240^\circ), 0) = E(1 \cdot (-\frac{1}{2}), 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

4. Вершина $F_1$ находится в верхнем основании. Ее проекция на нижнее основание, точка $F$, получается поворотом $A$ на $300^\circ$. Координаты $F$:

$F(a \cdot \cos(300^\circ), a \cdot \sin(300^\circ), 0) = F(1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Точка $F_1$ имеет ту же аппликату и ординату, что и $F$, а ее аппликата (координата $z$) равна высоте призмы $h=1$. Координаты $F_1$: $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Для этого найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{DE} = E - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

$\vec{DF_1} = F_1 - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $DEF_1$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{DE}$ и $\vec{DF_1}$:

$\vec{n} = \vec{DE} \times \vec{DF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j} + \frac{2\sqrt{3}}{4}\mathbf{k} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для удобства возьмем коллинеарный вектор, умножив $\vec{n}$ на $-2$: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 1, -\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$, где $(A, B, C)$ – координаты нормального вектора. Получаем:

$\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + D_{plane} = 0$.

Для нахождения коэффициента $D_{plane}$ подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$:

$\sqrt{3}(-1) + 1(0) - \sqrt{3}(0) + D_{plane} = 0 \implies D_{plane} = \sqrt{3}$.

Итак, уравнение плоскости $DEF_1$: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние $\rho$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$ вычисляется по формуле:

$\rho = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Найдем расстояние от точки $A(1, 0, 0)$ до плоскости $DEF_1$:

$\rho(A, (DEF_1)) = \frac{|\sqrt{3}(1) + 1(0) - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1 + 3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\rho(A, (DEF_1)) = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$ см.