Номер 11, страница 172 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до плоскости $BCA_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма

Все ребра равны 1 см.

$AB = BC = CA = AA_1 = 1$ см

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $BCA_1$, которое обозначим как $d(A, (BCA_1))$.

Решение:

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Мы решим задачу геометрическим методом.

1. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $A_1$ и середину ребра $BC$. Обозначим середину $BC$ как точку $M$. Искомая плоскость - $(BCA_1)$.

2. В основании призмы лежит правильный треугольник $ABC$. Медиана $AM$ в равностороннем треугольнике является также и высотой, следовательно, $AM \perp BC$.

3. Призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, поэтому боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $AA_1 \perp BC$.

4. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $AA_1$ в плоскости $(AA_1M)$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(AA_1M)$.

5. Плоскость $(BCA_1)$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $(AA_1M)$. Согласно признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(BCA_1)$ перпендикулярна плоскости $(AA_1M)$.

6. Линией пересечения плоскостей $(BCA_1)$ и $(AA_1M)$ является прямая $A_1M$.

7. Так как плоскости $(BCA_1)$ и $(AA_1M)$ перпендикулярны, то перпендикуляр, опущенный из точки $A$ (лежащей в плоскости $(AA_1M)$) на плоскость $(BCA_1)$, будет лежать в плоскости $(AA_1M)$ и будет перпендикулярен линии их пересечения $A_1M$. Обозначим этот перпендикуляр как $AH$, где $H \in A_1M$. Длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние.

8. Рассмотрим треугольник $AA_1M$. Поскольку $AA_1 \perp (ABC)$, то $AA_1 \perp AM$. Следовательно, треугольник $AA_1M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

9. Найдем длины катетов этого треугольника:

- $AA_1 = 1$ см (по условию).

- $AM$ — высота в равностороннем треугольнике $ABC$ со стороной 1. $AM = \frac{BC \sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

10. Найдем длину гипотенузы $A_1M$ по теореме Пифагора:

$A_1M^2 = AA_1^2 + AM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$A_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

11. Искомое расстояние $AH$ является высотой прямоугольного треугольника $AA_1M$, проведенной к гипотенузе. Площадь этого треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{AA_1M} = \frac{1}{2} \cdot AA_1 \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot A_1M \cdot AH$

Отсюда получаем равенство:

$AA_1 \cdot AM = A_1M \cdot AH$

Подставим известные значения и найдем $AH$:

$1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot AH$

$AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$AH = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ см.

Ответ: $ \frac{\sqrt{21}}{7} $ см.