Номер 5, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$.

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.
Длина ребра основания $a = 1$ см.
Длина бокового ребра (высота) $h = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:
Расстояние от точки A до плоскости BDD₁, которое обозначим как $\rho(A, (BDD_1))$.

Решение:

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями служат правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскость $BDD_1$ проходит через боковое ребро $DD_1$. Так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то и вся плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки $A$, лежащей в плоскости основания, до плоскости $BDD_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на линию пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $(ABCDEF)$ и $(BDD_1)$ является прямая $BD$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $A$ до прямой $BD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$ в плоскости основания.

1. Длина стороны $AB$ равна длине ребра призмы, то есть $AB = a = 1$ см.

2. $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше длины стороны: $AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

3. $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Найдем ее длину по теореме косинусов для треугольника $\triangle BCD$. В правильном шестиугольнике все внутренние углы равны $120^\circ$, поэтому $\angle BCD = 120^\circ$. Стороны $BC$ и $CD$ равны стороне шестиугольника, т.е. 1 см.
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
Следовательно, $BD = \sqrt{3}$ см.

4. Теперь проверим, является ли треугольник $\triangle ABD$ прямоугольным. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:
$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$
$AD^2 = 2^2 = 4$
Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $\triangle ABD$ является прямоугольным, причем прямой угол находится напротив самой длинной стороны $AD$, то есть $\angle ABD = 90^\circ$.

5. Раз угол $\angle ABD = 90^\circ$, это означает, что отрезок $AB$ является перпендикуляром к прямой $BD$.

6. Расстояние от точки $A$ до прямой $BD$ равно длине этого перпендикуляра, то есть длине отрезка $AB$.

$\rho(A, BD) = AB = 1$ см.

Так как расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BD$, искомое расстояние равно 1 см.

Ответ: 1 см.