Номер 1, страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $BDD_1$.

Решение:

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим искомое расстояние как $\rho(A, (BDD_1))$.

1. Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ этого квадрата пересекаются в точке $O$. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$. Это означает, что отрезок $AO$ перпендикулярен прямой $BD$.

2. Плоскость $BDD_1$ — это диагональная плоскость куба, которая проходит через диагональ основания $BD$ и боковое ребро $DD_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $AO$.

3. Таким образом, мы установили, что отрезок $AO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$), лежащим в плоскости $BDD_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, отрезок $AO$ перпендикулярен всей плоскости $BDD_1$.

4. Следовательно, длина отрезка $AO$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$.

5. Найдем длину отрезка $AO$. В квадрате $ABCD$ точка $O$ является точкой пересечения диагоналей и делит их пополам. Сначала найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$):
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
Так как куб единичный, $AB = BC = 1$.
$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AC = \sqrt{2}$

6. Поскольку $O$ — середина диагонали $AC$, то:
$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.