Страница 171 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $DA_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ - единичный.

Длина ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$.

Решение:

Искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $DA_1$. Рассмотрим треугольник $BDA_1$, в котором этот перпендикуляр является высотой, проведенной из вершины $B$. Найдем длины сторон этого треугольника.

Стороны $DB$, $DA_1$ и $BA_1$ являются диагоналями граней куба, которые представляют собой единичные квадраты (квадраты со стороной 1).

Длина диагонали единичного квадрата вычисляется по теореме Пифагора и равна $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Следовательно, все три стороны треугольника $BDA_1$ равны:

$DB$ — диагональ грани $ABCD$, $DB = \sqrt{DA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

$DA_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$, $DA_1 = \sqrt{DA^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

$BA_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$, $BA_1 = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Поскольку все стороны треугольника $BDA_1$ равны, он является равносторонним со стороной $s = \sqrt{2}$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $DA_1$ есть высота $h$ этого равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $s$ находится по формуле:

$h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

Подставим в формулу значение стороны $s = \sqrt{2}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

10. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до прямой $AC_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.
Все ребра равны 1 см, то есть $AB = BC = CA = AA_1 = 1$ см.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ см $= 0.01$ м. Для удобства вычислений и наглядности будем использовать сантиметры, так как все данные приведены в этой единице.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, которое обозначим $\rho(B, AC_1)$.

Решение:

Искомое расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AC_1$. Рассмотрим треугольник $ABC_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC_1$. Обозначим эту высоту как $BH$, где $H \in AC_1$.

Для нахождения высоты $BH$ найдем сначала все стороны треугольника $ABC_1$.

1. Сторона $AB$ — это ребро основания призмы. По условию, $AB = 1$ см.

2. Сторона $AC_1$ — это диагональ боковой грани $AA_1C_1C$. Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, значит $AA_1 \perp AC$. Поскольку все ребра равны 1, грань $AA_1C_1C$ является квадратом со стороной 1 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AC$ (или $ACC_1$), по теореме Пифагора: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Следовательно, $AC_1 = \sqrt{2}$ см.

3. Сторона $BC_1$ — это диагональ боковой грани $BB_1C_1C$, которая также является квадратом со стороной 1 см. Аналогично, из прямоугольного треугольника $B_1BC$ по теореме Пифагора: $BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.
Следовательно, $BC_1 = \sqrt{2}$ см.

Итак, мы имеем треугольник $ABC_1$ со сторонами $AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$. Этот треугольник — равнобедренный с основанием $AB$.

Площадь треугольника $S_{ABC_1}$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. С одной стороны, используя сторону $AC_1$ как основание, а искомую высоту $BH$ как высоту: $S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH$.

С другой стороны, вычислим площадь, используя основание $AB$. Проведем высоту $C_1M$ к стороне $AB$. В равнобедренном треугольнике $ABC_1$ высота, проведенная к основанию, является и медианой, поэтому $M$ — середина $AB$, и $AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $AMC_1$ по теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$: $C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8-1}{4} = \frac{7}{4}$.
$C_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$: $S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ см$^2$.

Приравняем два полученных выражения для площади: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Выразим из этого уравнения искомую высоту $BH$: $BH = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $BH = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$ см.

11. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны осно-вания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки S до прямой BF.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ – правильная шестиугольная.
Стороны основания $a = 1$ см.
Боковые ребра $l = 2$ см.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BF$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $S$ до прямой $BF$ — это длина высоты $SH$, проведенной в треугольнике $SBF$ из вершины $S$ к стороне $BF$.

Сначала рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — его центр. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Следовательно, отрезки, соединяющие центр с вершинами, равны стороне основания: $OB = OF = a = 1$ см.

Рассмотрим треугольник $OBF$. Угол между двумя соседними радиусами в правильном шестиугольнике составляет $360^{\circ} / 6 = 60^{\circ}$. Угол $\angle{BOF}$ состоит из двух таких углов ($\angle{BOA}$ и $\angle{AOF}$), поэтому $\angle{BOF} = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Найдем длину диагонали $BF$ из треугольника $OBF$ по теореме косинусов:$BF^2 = OB^2 + OF^2 - 2 \cdot OB \cdot OF \cdot \cos(\angle{BOF})$$BF^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^{\circ}) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$$BF = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $SBF$. Нам известны длины всех его сторон: боковые ребра $SB = 2$ см и $SF = 2$ см, и основание $BF = \sqrt{3}$ см.Поскольку $SB = SF$, треугольник $SBF$ является равнобедренным.

Высота $SH$, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Значит, точка $H$ делит отрезок $BF$ пополам:$BH = HF = \frac{BF}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHB$ (угол $\angle{SHB} = 90^{\circ}$). По теореме Пифагора найдем катет $SH$, который и является искомым расстоянием:$SH^2 = SB^2 - BH^2$$SH^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$$SH = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

12. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SA$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = AB = 1$ см.

Боковое ребро $l = SA = 2$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м.

$l = 0.02$ м.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$, обозначим его $d(B, SA)$.

Решение:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $SA$. Рассмотрим треугольник $SAB$, образованный вершиной пирамиды $S$ и двумя смежными вершинами основания $A$ и $B$. Искомое расстояние является высотой $BH$ этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $SA$.

Найдем стороны треугольника $SAB$ из условия задачи:

$AB = 1$ см (сторона основания).

$SA = 2$ см (боковое ребро).

Так как пирамида правильная, все её боковые ребра равны, поэтому $SB = SA = 2$ см.

Таким образом, треугольник $SAB$ — равнобедренный с боковыми сторонами $SA=SB=2$ см и основанием $AB=1$ см.

Для нахождения высоты $BH$ треугольника $SAB$, опущенной на боковую сторону $SA$, воспользуемся теоремой косинусов.

Найдем косинус угла $\angle SAB$ (или $\angle A$) в треугольнике $SAB$ по теореме косинусов:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 \cdot SA \cdot AB \cdot \cos(\angle SAB)$

Подставим известные длины сторон (вычисления будем производить в сантиметрах):

$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 = 4 + 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

$0 = 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 \cdot \cos(\angle SAB) = 1$

$\cos(\angle SAB) = \frac{1}{4}$

Теперь найдем синус этого же угла, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \cos^2(\angle SAB) = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Так как $\angle SAB$ — это угол в треугольнике, его синус положителен:

$\sin(\angle SAB) = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $H$ — это основание высоты из точки $B$ на прямую $SA$ ($\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AB$, а искомая высота $BH$ — катет, противолежащий углу $\angle BAH$ (который совпадает с углом $\angle SAB$).

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle SAB) = \frac{BH}{AB}$

Отсюда выразим искомую высоту $BH$:

$BH = AB \cdot \sin(\angle SAB) = 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ см.

Ответ: Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ равно $\frac{\sqrt{15}}{4}$ см.

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1 F_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – правильная шестиугольная.

Длина всех ребер равна 1 см.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Для удобства будем вести все расчеты в сантиметрах.

Введем прямоугольную систему координат с началом в центре $O$ нижнего основания призмы. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $OA$, ось $Oy$ — перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная, ее основание $ABCDEF$ — это правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне, т.е. $R=a=1$. Высота призмы также равна 1.

Найдем координаты необходимых точек:

1. Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$ на расстоянии $R=1$ от начала координат, поэтому ее координаты $A(1, 0, 0)$.

2. Точка $B$ получается поворотом точки $A$ на угол $60^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты:$x_B = R \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$y_B = R \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$z_B = 0$Таким образом, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

3. Точка $F_1$ лежит в верхнем основании ($z=1$). Координаты ее проекции, точки $F$, получаются поворотом точки $A$ на угол $-60^\circ$ вокруг оси $Oz$:$x_F = R \cos(-60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$y_F = R \sin(-60^\circ) = 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$Поскольку $F_1$ находится над $F$ на высоте 1, ее координаты $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

4. Точка $A_1$ находится над точкой $A$ на высоте 1, поэтому ее координаты $A_1(1, 0, 1)$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ найдем по формуле расстояния от точки до прямой в пространстве:

$d = \frac{|\vec{A_1B} \times \vec{A_1F_1}|}{|\vec{A_1F_1}|}$

Найдем координаты векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1F_1}$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

$\vec{A_1F_1} = F_1 - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Теперь найдем их векторное произведение:

$\vec{A_1B} \times \vec{A_1F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - (-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}(-\frac{1}{2} \cdot 0 - (-1) \cdot (-\frac{1}{2})) + \vec{k}((-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2})) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \frac{1}{2}\vec{j} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{k}$

Координаты вектора-произведения: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{A_1B} \times \vec{A_1F_1}| = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Найдем модуль вектора $\vec{A_1F_1}$ (знаменатель дроби):

$|\vec{A_1F_1}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

Это логично, так как $A_1F_1$ - это сторона основания, длина которой равна 1.

Вычисляем искомое расстояние:

$d = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ: расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ равно $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1D_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Все ребра равны 1 см. То есть, сторона основания $a = 1$ см, боковое ребро (высота) $h = 1$ см.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим искомое расстояние как $\rho(B, A_1D_1)$.

Рассмотрим треугольник $BA_1D_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, проведенной из вершины $B$ к стороне $A_1D_1$.

Найдем длины сторон треугольника $BA_1D_1$ методом координат или геометрически. Воспользуемся геометрическим методом.

1. Найдем длину стороны $A_1D_1$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$ см. Верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — такой же шестиугольник. Отрезок $A_1D_1$ является большой диагональю этого шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны.

$A_1D_1 = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

2. Найдем длину стороны $BA_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, значит $\angle A_1AB = 90^\circ$. Катеты этого треугольника равны: $AB=1$ см (сторона основания) и $AA_1=1$ см (боковое ребро).

По теореме Пифагора:

$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$BA_1 = \sqrt{2}$ см.

3. Найдем длину стороны $BD_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $D_1DB$. Боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию, $\angle D_1DB = 90^\circ$. Катет $DD_1 = 1$ см. Второй катет — это диагональ $BD$ основания.

Найдем длину диагонали $BD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $BCD$. $BC=1$ см, $CD=1$ см. Угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$

$BD = \sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $D_1DB$. По теореме Пифагора:

$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$BD_1 = 2$ см.

4. Найдем площадь треугольника $BA_1D_1$.

Мы нашли длины всех его сторон: $BA_1 = \sqrt{2}$ см, $A_1D_1 = 2$ см, $BD_1 = 2$ см.

Поскольку $A_1D_1 = BD_1 = 2$, треугольник $BA_1D_1$ является равнобедренным с основанием $BA_1$.

Вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Полупериметр $s$:

$s = \frac{BA_1 + A_1D_1 + BD_1}{2} = \frac{\sqrt{2} + 2 + 2}{2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

Площадь $S$:

$S = \sqrt{s(s-BA_1)(s-A_1D_1)(s-BD_1)}$

$S = \sqrt{\frac{4+\sqrt{2}}{2} \left(\frac{4+\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\right) \left(\frac{4+\sqrt{2}}{2} - 2\right) \left(\frac{4+\sqrt{2}}{2} - 2\right)}$

$S = \sqrt{\frac{4+\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4-\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{\frac{4^2 - (\sqrt{2})^2}{4} \cdot \frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{16-2}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{14}{4} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см$^2$.

5. Найдем искомое расстояние.

Площадь треугольника также можно выразить через основание $A_1D_1$ и высоту $h_B$, проведенную к этому основанию. Эта высота и есть искомое расстояние $\rho(B, A_1D_1)$.

$S = \frac{1}{2} \cdot A_1D_1 \cdot h_B$

Подставим известные значения:

$\frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{7}}{2} = h_B$

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$ равно $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Дано:

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма.

Все ребра равны 1 см.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат с центром в центре нижнего основания призмы, шестиугольника $ABCDEF$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Ox$ направим через вершину $A$. Так как призма правильная, ее основание — правильный шестиугольник. Пусть сторона основания и боковое ребро равны $a=1$ см.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a$ и центром в начале координат, где одна из вершин ($A$) лежит на оси $Ox$, можно вычислить по формулам $x = a \cos \theta$, $y = a \sin \theta$. Углы для вершин $A, B, C, D, E, F$ равны соответственно $0^\circ, 60^\circ, 120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$.

Найдем координаты интересующих нас точек $B$, $F$, $E_1$ при $a=1$ см:

• Точка $B$: $\theta = 60^\circ$. $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Точка $F$: $\theta = 300^\circ$ (или $-60^\circ$). $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Точка $E$: $\theta = 240^\circ$ (или $-120^\circ$). $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Точка $E_1$ получается сдвигом точки $E$ вдоль оси $Oz$ на высоту призмы $a=1$. $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние от точки до прямой можно найти как высоту треугольника, опущенную из этой точки на сторону, лежащую на данной прямой. Рассмотрим треугольник $BFE_1$. Искомое расстояние — это высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $FE_1$.

Найдем квадраты длин сторон этого треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

1. Квадрат длины стороны $BF$:

$BF^2 = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2 + (0 - 0)^2 = 0^2 + (\sqrt{3})^2 + 0^2 = 3$.

2. Квадрат длины стороны $FE_1$:

$FE_1^2 = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}))^2 + (1 - 0)^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2$.

3. Квадрат длины стороны $BE_1$:

$BE_1^2 = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2 = (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2 = 1 + 3 + 1 = 5$.

Проверим, выполняется ли для треугольника $BFE_1$ теорема Пифагора:

$BF^2 + FE_1^2 = 3 + 2 = 5$.

Так как $BF^2 + FE_1^2 = BE_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $BFE_1$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $F$.

Это означает, что сторона $BF$ перпендикулярна стороне $FE_1$. Следовательно, отрезок $BF$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $FE_1$.

Таким образом, искомое расстояние от точки $B$ до прямой $FE_1$ равно длине катета $BF$.

$d(B, FE_1) = BF = \sqrt{BF^2} = \sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все рёбра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1 см.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$ является длиной высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD_1$ в треугольнике $ABD_1$. Для нахождения $h$ найдем длины всех сторон этого треугольника.

1. Сторона $AB$ является ребром основания призмы. По условию, $AB = 1$ см.

2. Для нахождения длины отрезка $AD_1$ сначала найдем длину большой диагонали основания $AD$. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ равна $2a$. Таким образом, $AD = 2 \cdot 1 = 2$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$ (угол $\angle D$ прямой, так как призма прямая). Катет $DD_1$ является боковым ребром, поэтому $DD_1 = 1$ см. По теореме Пифагора:$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Отсюда $AD_1 = \sqrt{5}$ см.

3. Для нахождения длины отрезка $BD_1$ сначала найдем длину диагонали основания $BD$. Рассмотрим треугольник $BCD$ в основании. Стороны $BC = 1$ см, $CD = 1$ см. Угол правильного шестиугольника $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $BCD$:$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $BD = \sqrt{3}$ см.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$ (угол $\angle D$ прямой). Катет $DD_1 = 1$ см. По теореме Пифагора:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Отсюда $BD_1 = 2$ см.

4. Мы имеем треугольник $ABD_1$ со сторонами $AB = 1$ см, $BD_1 = 2$ см и $AD_1 = \sqrt{5}$ см. Проверим, является ли он прямоугольным, с помощью теоремы, обратной теореме Пифагора:$AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Так как $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, то треугольник $ABD_1$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $B$, а $AD_1$ — его гипотенуза.

5. Высота $h$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, может быть найдена через площадь треугольника. Площадь треугольника $ABD_1$ можно вычислить двумя способами:$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD_1$ (как половина произведения катетов)$S = \frac{1}{2} \cdot AD_1 \cdot h$ (как половина произведения гипотенузы на высоту)Приравнивая эти выражения, получаем:$AB \cdot BD_1 = AD_1 \cdot h$$1 \cdot 2 = \sqrt{5} \cdot h$$h = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ см.

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$.

Дано:

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ — единичный куб.
Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки A до плоскости $BDD_1$.

Решение:

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим искомое расстояние как $\rho(A, (BDD_1))$.

1. Рассмотрим основание куба — квадрат $ABCD$. Диагонали $AC$ и $BD$ этого квадрата пересекаются в точке $O$. В квадрате диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$. Это означает, что отрезок $AO$ перпендикулярен прямой $BD$.

2. Плоскость $BDD_1$ — это диагональная плоскость куба, которая проходит через диагональ основания $BD$ и боковое ребро $DD_1$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Следовательно, ребро $DD_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и отрезку $AO$.

3. Таким образом, мы установили, что отрезок $AO$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($BD$ и $DD_1$), лежащим в плоскости $BDD_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, отрезок $AO$ перпендикулярен всей плоскости $BDD_1$.

4. Следовательно, длина отрезка $AO$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$.

5. Найдем длину отрезка $AO$. В квадрате $ABCD$ точка $O$ является точкой пересечения диагоналей и делит их пополам. Сначала найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$):
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
Так как куб единичный, $AB = BC = 1$.
$AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AC = \sqrt{2}$

6. Поскольку $O$ — середина диагонали $AC$, то:
$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. В правильной треугольной призме $\text{ABCA}_1\text{B}_1\text{C}_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки А до плоскости $\text{BCC}_1$.

Дано:

$ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Длина каждого ребра $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости ($BCC_1$) — $d$.

Решение:

По определению, правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. Из условия следует, что все рёбра призмы равны 1 см, т.е. $a = 0.01$ м.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной плоскости. Нам нужно найти расстояние от вершины $A$ до плоскости боковой грани $BCC_1B_1$.

Так как призма является прямой, её боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость грани ($BCC_1$) перпендикулярна плоскости основания ($ABC$).

Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр, проведённый из точки одной плоскости к линии их пересечения, является перпендикуляром ко второй плоскости. Линией пересечения плоскостей ($ABC$) и ($BCC_1$) является прямая $BC$.

Проведём в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Тогда $AH \perp BC$. Так как $AH$ лежит в плоскости ($ABC$), то $AH$ будет перпендикуляром ко всей плоскости ($BCC_1$). Таким образом, длина высоты $AH$ и есть искомое расстояние $d$.

Высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим в формулу значение длины ребра $a = 1$ см:

$d = AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида
Все ребра равны 1 см, то есть:
$AB = BC = CD = DA = 1 \text{ см}$ (стороны основания)
$SA = SB = SC = SD = 1 \text{ см}$ (боковые ребра)

Перевод в систему СИ:
Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки S до плоскости ABC, обозначим его $h$.

Решение:

Расстояние от вершины правильной пирамиды S до плоскости ее основания ABC является высотой пирамиды. Опустим высоту SO на основание ABCD, где O — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

1. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD со стороной $a = 1$ см.

2. Найдем длину диагонали AC этого квадрата. Треугольник ABC является прямоугольным, где $\angle B = 90^\circ$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$ $AC = \sqrt{2} \text{ см}$

3. Точка O — центр квадрата, она же точка пересечения его диагоналей, которые делятся этой точкой пополам. Следовательно, длина отрезка AO составляет половину длины диагонали AC: $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$

4. Рассмотрим треугольник SAO. Он является прямоугольным, так как высота SO перпендикулярна плоскости основания и, следовательно, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O, включая прямую AO. В этом треугольнике:
• $SA$ — гипотенуза, боковое ребро пирамиды, $SA = 1$ см.
• $AO$ — катет, половина диагонали основания, $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
• $SO$ — катет, высота пирамиды, которую нужно найти.

5. По теореме Пифагора для треугольника SAO: $SA^2 = AO^2 + SO^2$

Выразим из формулы искомую высоту $SO$: $SO^2 = SA^2 - AO^2$ $SO^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ см}$

Таким образом, расстояние от точки S до плоскости ABC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

4. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$ см.

Боковое ребро $l = 2$ см.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$, обозначим его $h$.

Решение:

Поскольку пирамида $SABCDEF$ является правильной, ее основание $ABCDEF$ — это правильный шестиугольник, а вершина $S$ проецируется в центр этого шестиугольника. Обозначим центр основания буквой $O$.

Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ (которая является плоскостью основания пирамиды) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на эту плоскость. В правильной пирамиде таким перпендикуляром является ее высота $SO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOA$. Он является прямоугольным, так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$ (в частности, прямой $OA$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$:

• $SA$ — гипотенуза, которая является боковым ребром пирамиды. По условию, $SA = 2$ см.

• $SO$ — катет, который является высотой пирамиды $h$. Это искомое расстояние.

• $OA$ — второй катет. Это расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершины, то есть радиус описанной около основания окружности.

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Сторона основания по условию равна $a = 1$ см.

Следовательно, $OA = a = 1$ см.

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle SOA$ найдем катет $SO$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

Выразим искомую высоту $SO$:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

Подставим числовые значения:

$SO^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$ см.

Таким образом, искомое расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ равно $\sqrt{3}$ см.

Ответ: $\sqrt{3}$ см.

5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$.

Дано:
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.
Длина ребра основания $a = 1$ см.
Длина бокового ребра (высота) $h = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:
Расстояние от точки A до плоскости BDD₁, которое обозначим как $\rho(A, (BDD_1))$.

Решение:

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основаниями служат правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Плоскость $BDD_1$ проходит через боковое ребро $DD_1$. Так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$, то и вся плоскость $BDD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки $A$, лежащей в плоскости основания, до плоскости $BDD_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на линию пересечения этих плоскостей. Линией пересечения плоскостей $(ABCDEF)$ и $(BDD_1)$ является прямая $BD$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от вершины $A$ до прямой $BD$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$ в плоскости основания.

1. Длина стороны $AB$ равна длине ребра призмы, то есть $AB = a = 1$ см.

2. $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше длины стороны: $AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ см.

3. $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Найдем ее длину по теореме косинусов для треугольника $\triangle BCD$. В правильном шестиугольнике все внутренние углы равны $120^\circ$, поэтому $\angle BCD = 120^\circ$. Стороны $BC$ и $CD$ равны стороне шестиугольника, т.е. 1 см.
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
Следовательно, $BD = \sqrt{3}$ см.

4. Теперь проверим, является ли треугольник $\triangle ABD$ прямоугольным. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом большей стороны:
$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$
$AD^2 = 2^2 = 4$
Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $\triangle ABD$ является прямоугольным, причем прямой угол находится напротив самой длинной стороны $AD$, то есть $\angle ABD = 90^\circ$.

5. Раз угол $\angle ABD = 90^\circ$, это означает, что отрезок $AB$ является перпендикуляром к прямой $BD$.

6. Расстояние от точки $A$ до прямой $BD$ равно длине этого перпендикуляра, то есть длине отрезка $AB$.

$\rho(A, BD) = AB = 1$ см.

Так как расстояние от точки $A$ до плоскости $BDD_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BD$, искомое расстояние равно 1 см.

Ответ: 1 см.

6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, найдите расстояние от точки A до плоскости $BCC_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная.

Все рёбра равны 1 см.

В системе СИ:
Длина ребра $a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1$.

Решение:

По определению, правильная шестиугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Это означает, что боковые рёбра призмы (например, $BB_1$ и $CC_1$) перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, боковая грань $BCC_1B_1$ также перпендикулярна плоскости основания.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Обозначим искомое расстояние как $d$.

Так как точка $A$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$, а плоскость $BCC_1$ перпендикулярна этой плоскости, то искомое расстояние от точки $A$ до плоскоosti $BCC_1$ равно расстоянию от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости основания.

Чтобы это доказать, проведём в плоскости основания $ABCDEF$ перпендикуляр $AH$ к прямой $BC$. Так как $AH$ лежит в плоскости основания, а боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию, то $AH \perp BB_1$. Поскольку прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$) в плоскости $BCC_1$, она перпендикулярна и самой плоскости $BCC_1$. Таким образом, длина отрезка $AH$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Длина его стороны равна 1 см. Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $180^\circ(n-2)/n$, где $n=6$.

$\angle ABC = \frac{180^\circ(6-2)}{6} = \frac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ$.

Теперь найдём длину высоты $AH$ в треугольнике $ABC$. В этом треугольнике $AB = BC = 1$ см, а угол $\angle ABC = 120^\circ$. Так как угол $\angle ABC$ тупой, основание высоты $H$, опущенной из вершины $A$ на прямую $BC$, будет лежать на продолжении стороны $BC$ за точку $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle ABH$ смежен с углом $\angle ABC$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\angle ABH = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенуза $AB = 1$ см. Катет $AH$ является искомым расстоянием. Он лежит напротив угла $\angle ABH$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:

$AH = AB \cdot \sin(\angle ABH)$

Подставляя известные значения, получаем:

$AH = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.